Номер 238, страница 108 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

238. Найдите первый член, знаменатель и количество членов конечной геометрической прогрессии $(y_n)$, если $y_4 - y_2 = -24$, $y_3 + y_2 = 6$, а сумма всех членов $S_n = -182$.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как $y_1$, а знаменатель как $q$.

Исходя из условия, составим систему уравнений. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $y_n = y_1 q^{n-1}$.

$ \begin{cases} y_4 - y_2 = -24 \\ y_3 + y_2 = 6 \end{cases} \implies \begin{cases} y_1 q^3 - y_1 q = -24 \\ y_1 q^2 + y_1 q = 6 \end{cases} $

Вынесем общие множители:

$ \begin{cases} y_1 q (q^2 - 1) = -24 \\ y_1 q (q + 1) = 6 \end{cases} $

Разложим выражение $q^2-1$ в первом уравнении на множители $(q-1)(q+1)$, получим $y_1 q (q-1)(q+1) = -24$. Теперь подставим второе уравнение $y_1 q (q+1) = 6$ в преобразованное первое:

$6 \cdot (q-1) = -24$

Разделим обе части на 6:

$q-1 = -4$

$q = -3$

Ответ: $q = -3$.

Теперь, зная знаменатель $q=-3$, найдем первый член $y_1$ из второго уравнения системы $y_1 q (q + 1) = 6$:

$y_1 (-3) (-3 + 1) = 6$

$y_1 (-3) (-2) = 6$

$6y_1 = 6$

$y_1 = 1$

Ответ: $y_1 = 1$.

Для нахождения количества членов $n$ используем формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{y_1(q^n - 1)}{q - 1}$ и данные из условия $S_n = -182$. Подставим известные значения $y_1=1$ и $q=-3$:

$-182 = \frac{1 \cdot ((-3)^n - 1)}{-3 - 1}$

$-182 = \frac{(-3)^n - 1}{-4}$

Умножим обе части уравнения на -4:

$728 = (-3)^n - 1$

$729 = (-3)^n$

Поскольку $729 = 3^6$ и основание степени отрицательное, показатель степени $n$ должен быть четным. Таким образом, $n=6$.

Ответ: $n=6$.