Номер 240, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

240. Запишите в виде обыкновенной дроби число:

1) $0,444...$ ; 3) $0,8333...$ ;

2) $2,(36)$; 4) $3,7(2)$.

1) Для преобразования числа $0,444...$ (или $0,(4)$) в обыкновенную дробь, обозначим его как $x$.
$x = 0,444...$
Поскольку в периоде одна цифра, умножим обе части уравнения на 10:
$10x = 4,444...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = 4,444... - 0,444...$
$9x = 4$
$x = \frac{4}{9}$
Ответ: $\frac{4}{9}$

2) Число $2,(36)$ представляет собой сумму целой части 2 и периодической дроби $0,(36)$.
Сначала преобразуем дробную часть. Обозначим $x = 0,(36) = 0,3636...$
В периоде две цифры, поэтому умножим уравнение на 100:
$100x = 36,3636...$
Вычтем из нового уравнения исходное:
$100x - x = 36,3636... - 0,3636...$
$99x = 36$
$x = \frac{36}{99}$
Сократим дробь на 9:
$x = \frac{36 \div 9}{99 \div 9} = \frac{4}{11}$
Теперь добавим целую часть:
$2,(36) = 2 + \frac{4}{11} = 2\frac{4}{11} = \frac{2 \times 11 + 4}{11} = \frac{26}{11}$
Ответ: $\frac{26}{11}$

3) Число $0,8333...$ (или $0,8(3)$) является смешанной периодической дробью. Обозначим его как $x$.
$x = 0,8333...$
Умножим на 10, чтобы непериодическая часть ($8$) оказалась слева от запятой:
$10x = 8,333...$
Умножим еще раз на 10, чтобы сместить запятую на одну цифру периода:
$100x = 83,333...$
Вычтем из третьего уравнения второе:
$100x - 10x = 83,333... - 8,333...$
$90x = 75$
$x = \frac{75}{90}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 15:
$x = \frac{75 \div 15}{90 \div 15} = \frac{5}{6}$
Ответ: $\frac{5}{6}$

4) Число $3,7(2)$ (или $3,7222...$) является смешанной периодической дробью с целой частью. Обозначим его как $x$.
$x = 3,7222...$
Умножим на 10, чтобы после запятой остался только чистый период:
$10x = 37,222...$
Умножим еще раз на 10, чтобы сместить запятую на одну цифру периода:
$100x = 372,222...$
Вычтем из третьего уравнения второе:
$100x - 10x = 372,222... - 37,222...$
$90x = 335$
$x = \frac{335}{90}$
Сократим дробь на 5:
$x = \frac{335 \div 5}{90 \div 5} = \frac{67}{18}$
Эту дробь можно также представить в виде смешанного числа $3\frac{13}{18}$.
Ответ: $\frac{67}{18}$