Номер 230, страница 107 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

230. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 30. Если первое число оставить без изменения, а из второго и третьего чисел вычесть соответственно 4 и 5, то образуется геометрическая прогрессия. Найдите данные числа.

Пусть три искомых числа, образующие арифметическую прогрессию, равны $a_1$, $a_2$, $a_3$. Для удобства решения представим их в виде $a-d, a, a+d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию задачи, сумма этих трёх чисел равна 30. Составим и решим уравнение:

$(a-d) + a + (a+d) = 30$

$3a = 30$

$a = 10$

Таким образом, средний член прогрессии равен 10, а сами числа имеют вид $10-d, 10, 10+d$.

Далее, из условия следует, что если первое число оставить без изменения, из второго вычесть 4, а из третьего вычесть 5, то получится геометрическая прогрессия. Запишем члены новой последовательности:

$b_1 = 10-d$

$b_2 = 10 - 4 = 6$

$b_3 = (10+d) - 5 = 5+d$

Для любой геометрической прогрессии квадрат её среднего члена равен произведению соседних членов. Используем это свойство для последовательности $b_1, b_2, b_3$:

$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

$6^2 = (10-d)(5+d)$

Решим полученное уравнение:

$36 = 50 + 10d - 5d - d^2$

$36 = 50 + 5d - d^2$

$d^2 - 5d - 14 = 0$

Это квадратное уравнение, которое можно решить, например, с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 5, а их произведение равно -14. Корни уравнения:

$d_1 = 7$ и $d_2 = -2$.

Теперь найдём два возможных набора исходных чисел, подставляя найденные значения $d$.

1. При $d=7$ числа равны:

$a_1 = 10 - 7 = 3$

$a_2 = 10$

$a_3 = 10 + 7 = 17$

Получается последовательность 3, 10, 17. Проверим: это арифметическая прогрессия с суммой 30. Новая последовательность: 3, $10-4=6$, $17-5=12$. Числа 3, 6, 12 образуют геометрическую прогрессию.

2. При $d=-2$ числа равны:

$a_1 = 10 - (-2) = 12$

$a_2 = 10$

$a_3 = 10 + (-2) = 8$

Получается последовательность 12, 10, 8. Проверим: это арифметическая прогрессия с суммой 30. Новая последовательность: 12, $10-4=6$, $8-5=3$. Числа 12, 6, 3 образуют геометрическую прогрессию.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют два набора чисел.

Ответ: 3, 10, 17 или 12, 10, 8.