Номер 229, страница 107 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

229. При каком значении $x$ значения выражений $x-1$, $1-2x$ и $x+7$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть данные выражения $b_1 = x - 1$, $b_2 = 1 - 2x$ и $b_3 = x + 7$ являются последовательными членами геометрической прогрессии. Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии, квадрат среднего члена равен произведению двух крайних членов: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Подставим данные выражения в это свойство, чтобы составить уравнение: $(1 - 2x)^2 = (x - 1)(x + 7)$.

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части: $1 - 4x + 4x^2$. В правой части: $x^2 + 6x - 7$. Приравняв обе части, получим: $1 - 4x + 4x^2 = x^2 + 6x - 7$.

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $4x^2 - x^2 - 4x - 6x + 1 + 7 = 0$, что упрощается до $3x^2 - 10x + 8 = 0$.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=3$, $b=-10$, $c=8$.
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 2}{6} = \frac{12}{6} = 2$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 2}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

Мы получили два возможных значения $x$. Теперь найдем соответствующие члены прогрессии для каждого значения.

Для $x = 2$:
Первый член: $b_1 = x - 1 = 2 - 1 = 1$
Второй член: $b_2 = 1 - 2x = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3$
Третий член: $b_3 = x + 7 = 2 + 7 = 9$
Получаем последовательность: 1, -3, 9. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = -3$.

Для $x = \frac{4}{3}$:
Первый член: $b_1 = x - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$
Второй член: $b_2 = 1 - 2x = 1 - 2(\frac{4}{3}) = 1 - \frac{8}{3} = -\frac{5}{3}$
Третий член: $b_3 = x + 7 = \frac{4}{3} + 7 = \frac{4}{3} + \frac{21}{3} = \frac{25}{3}$
Получаем последовательность: $\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}, \frac{25}{3}$. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = -5$.

Ответ: При $x = 2$ члены прогрессии равны 1, -3, 9; при $x = \frac{4}{3}$ члены прогрессии равны $\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}, \frac{25}{3}$.