Номер 228, страница 107 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

228. Какие три числа надо вставить между числами 256 и 1, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

Пусть искомая последовательность чисел является геометрической прогрессией $(b_n)$. По условию задачи, первый член этой прогрессии $b_1 = 256$. Нам нужно вставить три числа между $b_1$ и последним числом, равным 1. Это означает, что всего в прогрессии будет $2 + 3 = 5$ членов, следовательно, пятый член прогрессии $b_5 = 1$.

Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ - знаменатель прогрессии.

Используя эту формулу для пятого члена прогрессии, получаем:$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$

Подставим известные значения $b_1 = 256$ и $b_5 = 1$ в формулу:$1 = 256 \cdot q^4$

Теперь решим это уравнение относительно $q$:$q^4 = \frac{1}{256}$$q = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{256}}$Так как $256 = 4^4$, то $\sqrt[4]{256} = 4$. Следовательно, $q = \pm \frac{1}{4}$.

Мы получили два возможных значения для знаменателя прогрессии, а значит, существует два возможных набора чисел.

Вариант 1: Знаменатель $q = \frac{1}{4}$. Найдем три числа, которые нужно вставить, то есть $b_2$, $b_3$ и $b_4$:$b_2 = b_1 \cdot q = 256 \cdot \frac{1}{4} = 64$$b_3 = b_2 \cdot q = 64 \cdot \frac{1}{4} = 16$$b_4 = b_3 \cdot q = 16 \cdot \frac{1}{4} = 4$В этом случае искомые числа: 64, 16, 4.

Вариант 2: Знаменатель $q = -\frac{1}{4}$. Найдем три числа для этого случая:$b_2 = b_1 \cdot q = 256 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -64$$b_3 = b_2 \cdot q = -64 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = 16$$b_4 = b_3 \cdot q = 16 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -4$В этом случае искомые числа: -64, 16, -4.

Ответ: 64, 16, 4 или -64, 16, -4.