Номер 224, страница 107 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

224. Найдите первый член геометрической прогрессии ($c_n$), знаменатель которой равен $q$, если:

1) $c_5 = q = \frac{2}{3}$;

2) $c_4 = 8, c_7 = -64.$

1) $c_5 = q = \frac{2}{3}$

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется формула: $c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$, где $c_1$ — первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — порядковый номер члена.

Из условия задачи нам известно, что пятый член прогрессии $c_5 = \frac{2}{3}$ и знаменатель прогрессии $q = \frac{2}{3}$.
Подставим эти значения в формулу для n=5:

$c_5 = c_1 \cdot q^{5-1}$
$c_5 = c_1 \cdot q^4$

Подставим известные значения $c_5$ и $q$:
$\frac{2}{3} = c_1 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4$

Выполним возведение в степень:
$\frac{2}{3} = c_1 \cdot \frac{2^4}{3^4}$
$\frac{2}{3} = c_1 \cdot \frac{16}{81}$

Теперь выразим $c_1$ из этого уравнения:
$c_1 = \frac{2}{3} \div \frac{16}{81}$
$c_1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{81}{16}$

Сократим дробь:
$c_1 = \frac{2 \cdot 81}{3 \cdot 16} = \frac{1 \cdot 27}{1 \cdot 8} = \frac{27}{8}$

Ответ: $c_1 = \frac{27}{8}$.

2) $c_4 = 8$, $c_7 = -64$

В этом случае нам неизвестен знаменатель прогрессии $q$. Мы можем найти его, используя формулу, связывающую два любых члена геометрической прогрессии: $c_m = c_n \cdot q^{m-n}$.

Возьмем $m=7$ и $n=4$ и подставим известные значения $c_7 = -64$ и $c_4 = 8$:
$c_7 = c_4 \cdot q^{7-4}$
$-64 = 8 \cdot q^3$

Решим уравнение относительно $q^3$:
$q^3 = \frac{-64}{8}$
$q^3 = -8$

Отсюда находим $q$:
$q = \sqrt[3]{-8} = -2$

Теперь, когда мы знаем знаменатель $q = -2$, мы можем найти первый член $c_1$, используя формулу $c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$. Воспользуемся известным значением $c_4 = 8$:
$c_4 = c_1 \cdot q^{4-1}$
$c_4 = c_1 \cdot q^3$

Подставим значения $c_4$ и $q$:
$8 = c_1 \cdot (-2)^3$
$8 = c_1 \cdot (-8)$

Находим $c_1$:
$c_1 = \frac{8}{-8} = -1$

Ответ: $c_1 = -1$.