Номер 218, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

218. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если сумма пяти первых её членов равна 10, а сумма двенадцати первых членов равна -102.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как $a_1$, а её разность как $d$.

Формула для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии имеет вид: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Согласно условию, сумма пяти первых членов прогрессии равна 10. Используем формулу для $n=5$: $S_5 = 10$ $\frac{2a_1 + d(5-1)}{2} \cdot 5 = 10$ $\frac{2a_1 + 4d}{2} \cdot 5 = 10$ $(a_1 + 2d) \cdot 5 = 10$ $a_1 + 2d = \frac{10}{5}$ $a_1 + 2d = 2$

Также по условию, сумма двенадцати первых членов равна -102. Используем формулу для $n=12$: $S_{12} = -102$ $\frac{2a_1 + d(12-1)}{2} \cdot 12 = -102$ $(2a_1 + 11d) \cdot 6 = -102$ $2a_1 + 11d = \frac{-102}{6}$ $2a_1 + 11d = -17$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $a_1$ и $d$: $\begin{cases} a_1 + 2d = 2 \\ 2a_1 + 11d = -17 \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $a_1$: $a_1 = 2 - 2d$

Подставим полученное выражение для $a_1$ во второе уравнение: $2(2 - 2d) + 11d = -17$ $4 - 4d + 11d = -17$ $4 + 7d = -17$ $7d = -17 - 4$ $7d = -21$ $d = -3$

Теперь, зная разность $d$, найдем первый член $a_1$, подставив значение $d$ в выражение для $a_1$: $a_1 = 2 - 2(-3)$ $a_1 = 2 + 6$ $a_1 = 8$

Таким образом, первый член прогрессии равен 8, а её разность равна -3.

Ответ: первый член равен 8, разность равна -3.