Номер 212, страница 106 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

212. Найдите сумму всех натуральных чисел, которые меньше 114 и при делении на 3 дают в остатке 2.

Нам необходимо найти сумму всех натуральных чисел, которые удовлетворяют двум условиям: они меньше 114 и при делении на 3 дают в остатке 2.

Такие числа образуют арифметическую прогрессию. Общая формула для чисел, дающих остаток 2 при делении на 3, имеет вид $3k + 2$, где $k$ — целое неотрицательное число.

Выпишем несколько первых членов этой последовательности, чтобы определить параметры прогрессии:

• При $k=0$: $3 \cdot 0 + 2 = 2$
• При $k=1$: $3 \cdot 1 + 2 = 5$
• При $k=2$: $3 \cdot 2 + 2 = 8$

Таким образом, мы имеем дело с арифметической прогрессией ($a_n$), где первый член $a_1 = 2$, а разность прогрессии $d = 3$.

Теперь найдем последний член прогрессии ($a_n$), который меньше 114.

$a_n < 114$
$3k + 2 < 114$
$3k < 112$
$k < \frac{112}{3}$
$k < 37.33...$

Поскольку $k$ должно быть целым числом, его максимальное значение равно 37. Найдем последний член прогрессии, подставив это значение $k$:
$a_n = 3 \cdot 37 + 2 = 111 + 2 = 113$.

Теперь нужно найти количество членов в этой прогрессии ($n$). Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$113 = 2 + (n-1) \cdot 3$
$111 = (n-1) \cdot 3$
$n-1 = \frac{111}{3}$
$n-1 = 37$
$n = 38$

Итак, в нашей прогрессии 38 членов. Теперь мы можем найти их сумму ($S_n$) по формуле суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_{38} = \frac{2 + 113}{2} \cdot 38$
$S_{38} = \frac{115}{2} \cdot 38$
$S_{38} = 115 \cdot 19$
$S_{38} = 2185$

Ответ: 2185