Страница 83 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

63. Даны функции $f(x) = x - \frac{2}{x}$ и $g(x) = 2x + 1$. Сравните:

1) $f(1)$ и $g(-1)$;

2) $f(2)$ и $g(0)$;

3) $f(-2)$ и $g(1)$.

1) f(1) и g(-1);
Для сравнения значений функций, сначала вычислим каждое из них.
Найдем значение функции $f(x) = x - \frac{2}{x}$ при $x = 1$:
$f(1) = 1 - \frac{2}{1} = 1 - 2 = -1$.
Теперь найдем значение функции $g(x) = 2x + 1$ при $x = -1$:
$g(-1) = 2 \cdot (-1) + 1 = -2 + 1 = -1$.
Сравнивая полученные результаты, видим, что $-1 = -1$. Следовательно, $f(1) = g(-1)$.
Ответ: $f(1) = g(-1)$.

2) f(2) и g(0);
Вычислим значение функции $f(x)$ при $x = 2$:
$f(2) = 2 - \frac{2}{2} = 2 - 1 = 1$.
Вычислим значение функции $g(x)$ при $x = 0$:
$g(0) = 2 \cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1$.
Сравнивая полученные результаты, видим, что $1 = 1$. Следовательно, $f(2) = g(0)$.
Ответ: $f(2) = g(0)$.

3) f(-2) и g(1).
Вычислим значение функции $f(x)$ при $x = -2$:
$f(-2) = -2 - \frac{2}{-2} = -2 - (-1) = -2 + 1 = -1$.
Вычислим значение функции $g(x)$ при $x = 1$:
$g(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3$.
Сравнивая полученные результаты, видим, что $-1 < 3$. Следовательно, $f(-2) < g(1)$.
Ответ: $f(-2) < g(1)$.

64. Дана функция $f(x) = \begin{cases} -2, & \text{если } x < -1, \\ x^2 - 3, & \text{если } -1 \le x < 2, \\ 2x - 3, & \text{если } x \ge 2. \end{cases}$

Найдите:

1) $f(-1,001)$;

2) $f(-1)$;

3) $f(0)$;

4) $f(3)$.

Данная функция является кусочно-заданной. Это означает, что для разных значений аргумента $x$ используются разные формулы. Чтобы найти значение функции в конкретной точке, нужно сначала определить, какому из трех интервалов принадлежит эта точка, а затем подставить ее в соответствующую формулу.

Функция задана следующим образом: $f(x) = \begin{cases} -2, & \text{если } x < -1 \\ x^2 - 3, & \text{если } -1 \le x < 2 \\ 2x - 3, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

1) f(-1,001);

Значение аргумента $x = -1,001$. Сравним его с заданными в условии интервалами. Поскольку $-1,001 < -1$, для вычисления значения функции используется первая формула: $f(x) = -2$. В этом случае значение функции постоянно и не зависит от $x$. $f(-1,001) = -2$.
Ответ: -2

2) f(-1);

Значение аргумента $x = -1$. Это значение удовлетворяет второму условию $-1 \le x < 2$, так как $-1 \le -1$. Следовательно, для вычисления используется вторая формула: $f(x) = x^2 - 3$. Подставляем $x = -1$ в эту формулу: $f(-1) = (-1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$.
Ответ: -2

3) f(0);

Значение аргумента $x = 0$. Это значение также удовлетворяет второму условию $-1 \le x < 2$, так как $-1 \le 0 < 2$. Используем вторую формулу: $f(x) = x^2 - 3$. Подставляем $x = 0$ в эту формулу: $f(0) = 0^2 - 3 = 0 - 3 = -3$.
Ответ: -3

4) f(3).

Значение аргумента $x = 3$. Это значение удовлетворяет третьему условию $x \ge 2$, так как $3 \ge 2$. Следовательно, для вычисления используется третья формула: $f(x) = 2x - 3$. Подставляем $x = 3$ в эту формулу: $f(3) = 2 \cdot 3 - 3 = 6 - 3 = 3$.
Ответ: 3

65. При каком значении $x$ значение функции $g(x) = \frac{x^2 + 2}{x + 1}$ равно 2?

Чтобы найти значение x, при котором значение функции $g(x) = \frac{x^2 + 2}{x + 1}$ равно 2, необходимо приравнять функцию к 2 и решить полученное уравнение:

$\frac{x^2 + 2}{x + 1} = 2$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$x + 1 \neq 0$

$x \neq -1$

Теперь решим уравнение. Умножим обе части на $(x + 1)$, чтобы избавиться от знаменателя:

$x^2 + 2 = 2(x + 1)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$x^2 + 2 = 2x + 2$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$x^2 - 2x + 2 - 2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:

$x_1 = 0$

или

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

Оба полученных корня ($0$ и $2$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -1$), следовательно, являются решениями задачи.

Ответ: при $x=0$ и $x=2$.

66. На рисунке 9 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-5; 4]$. Пользуясь графиком, найдите:

1) $f(-4)$; $f(-3,5)$; $f(-1)$; $f(2)$; $f(3)$; $f(4)$;

2) значения $x$, при которых $f(x) = -2$; $f(x) = 2$; $f(x) = 1$; $f(x) = 0$;

3) область значений функции.

Рис. 9

Для решения задачи воспользуемся представленным графиком функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-5; 4]$.

Чтобы найти значение функции $f(x)$ при заданном значении аргумента $x$, нужно найти на оси абсцисс (оси $x$) заданное значение, затем найти точку на графике с этой абсциссой и определить её ординату (значение по оси $y$).

При $x = -4$, находим соответствующую точку на графике. Её ордината равна 1. Следовательно, $f(-4) = 1$.
При $x = -3,5$, точка на графике лежит на оси абсцисс, следовательно, её ордината равна 0. Таким образом, $f(-3,5) = 0$.
При $x = -1$, находим соответствующую точку на графике. Её ордината равна -2. Следовательно, $f(-1) = -2$.
При $x = 2$, находим соответствующую точку на графике. Её ордината равна 1. Следовательно, $f(2) = 1$.
При $x = 3$, находим соответствующую точку на графике. Её ордината находится посередине между 1 и 2. Следовательно, $f(3) = 1,5$.
При $x = 4$, находим соответствующую точку на графике. Её ордината равна 1. Следовательно, $f(4) = 1$.

Ответ: $f(-4) = 1$; $f(-3,5) = 0$; $f(-1) = -2$; $f(2) = 1$; $f(3) = 1,5$; $f(4) = 1$.

Чтобы найти значения $x$, при которых $f(x)$ равно заданному числу, нужно провести горизонтальную прямую на уровне этого значения и найти абсциссы всех точек пересечения этой прямой с графиком функции.

$f(x) = -2$: Проводим прямую $y = -2$. Она пересекает график в двух точках. Абсциссы этих точек: $x = -2,5$ и $x = -1$.
$f(x) = 2$: Проводим прямую $y = 2$. Эта прямая не пересекает график функции. Следовательно, таких значений $x$ не существует.
$f(x) = 1$: Проводим прямую $y = 1$. Она пересекает график в трех точках. Абсциссы этих точек: $x = -4$, $x = 2$ и $x = 4$.
$f(x) = 0$: Ищем точки пересечения графика с осью $x$ (прямой $y = 0$). График пересекает ось $x$ в двух точках. Абсциссы этих точек: $x = -3,5$ и $x = 1$.

Ответ: при $f(x) = -2$, $x = -2,5$ и $x = -1$; при $f(x) = 2$ таких значений $x$ нет; при $f(x) = 1$, $x = -4$, $x = 2$ и $x = 4$; при $f(x) = 0$, $x = -3,5$ и $x = 1$.

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает функция (координата $y$) на своей области определения. Чтобы найти её по графику, нужно определить наименьшее и наибольшее значения функции на заданном промежутке.

По графику находим самую низкую и самую высокую точки.
Наименьшее значение функции (минимальная ордината) достигается в точке с абсциссой $x = -2$. Это значение равно $y_{min} = -2,5$.
Наибольшее значение функции (максимальная ордината) достигается в точке с абсциссой $x = -5$. Это значение равно $y_{max} = 3$.
Функция непрерывна и принимает все значения между своим наименьшим и наибольшим значениями.

Ответ: Область значений функции: $E(f) = [-2,5; 3]$.