Страница 81 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

47. Найдите множество решений системы неравенств:

1) $\begin{cases} 3(x - 2) > 2(x - 1) + x - 6, \\ 0,3(x - 1) \le 2(x + 1,2) + 0,7; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3 - \frac{4x - 5}{9} < 7x, \\ 2(3x + 1) < 6(x - 2) - 1. \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3(x - 2) > 2(x - 1) + x - 6 \\ 0.3(x - 1) \le 2(x + 1.2) + 0.7 \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$3(x - 2) > 2(x - 1) + x - 6$

Раскроем скобки:

$3x - 6 > 2x - 2 + x - 6$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$3x - 6 > 3x - 8$

Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$3x - 3x > -8 + 6$

$0 > -2$

Полученное неравенство является верным числовым неравенством, которое не зависит от $x$. Это означает, что решением первого неравенства является любое действительное число, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство:

$0.3(x - 1) \le 2(x + 1.2) + 0.7$

Раскроем скобки:

$0.3x - 0.3 \le 2x + 2.4 + 0.7$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$0.3x - 0.3 \le 2x + 3.1$

Перенесем члены с переменной $x$ в правую часть, а постоянные члены — в левую:

$-0.3 - 3.1 \le 2x - 0.3x$

$-3.4 \le 1.7x$

Разделим обе части неравенства на $1.7$. Так как $1.7 > 0$, знак неравенства не меняется:

$\frac{-3.4}{1.7} \le x$

$-2 \le x$ или $x \ge -2$

Решением второго неравенства является числовой промежуток $[-2; +\infty)$.

Решением системы неравенств является пересечение решений каждого из неравенств. Найдем пересечение множеств $(-\infty; +\infty)$ и $[-2; +\infty)$.

$(-\infty; +\infty) \cap [-2; +\infty) = [-2; +\infty)$.

Ответ: $[-2; +\infty)$.

2)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3 - \frac{4x - 5}{9} < 7x \\ 2(3x + 1) < 6(x - 2) - 1 \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$3 - \frac{4x - 5}{9} < 7x$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на 9:

$9 \cdot 3 - 9 \cdot \frac{4x - 5}{9} < 9 \cdot 7x$

$27 - (4x - 5) < 63x$

Раскроем скобки, обращая внимание на знак "минус" перед ними:

$27 - 4x + 5 < 63x$

$32 - 4x < 63x$

Перенесем член с переменной $x$ в правую часть:

$32 < 63x + 4x$

$32 < 67x$

Разделим обе части неравенства на $67$. Так как $67 > 0$, знак неравенства не меняется:

$\frac{32}{67} < x$ или $x > \frac{32}{67}$

Решением первого неравенства является числовой промежуток $(\frac{32}{67}; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство:

$2(3x + 1) < 6(x - 2) - 1$

Раскроем скобки:

$6x + 2 < 6x - 12 - 1$

$6x + 2 < 6x - 13$

Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$6x - 6x < -13 - 2$

$0 < -15$

Полученное неравенство является неверным числовым неравенством. Это означает, что второе неравенство не имеет решений. Множество его решений — пустое множество ($\emptyset$).

Поскольку решение системы — это пересечение множеств решений каждого из неравенств, а одно из множеств пустое, то и вся система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

48. Решите неравенство:

1) $ -1 < x - 3 < 7; $

2) $ -2,4 \le 4x + 0,8 \le 4; $

3) $ 0,2 \le 7 - 4x \le 1,4; $

4) $ 3 < \frac{x}{5} - 2 < 3,2; $

5) $ 2 < \frac{4x + 3}{3} \le 3; $

6) $ 2,5 < \frac{2 - 5x}{3} < 4,5. $

1) Решим двойное неравенство $ -1 < x - 3 < 7 $.
Чтобы найти $x$, прибавим ко всем частям неравенства 3:
$ -1 + 3 < x - 3 + 3 < 7 + 3 $
$ 2 < x < 10 $
Решением является интервал $ (2; 10) $.
Ответ: $ (2; 10) $.

2) Решим двойное неравенство $ -2,4 \le 4x + 0,8 \le 4 $.
Сначала вычтем из всех частей неравенства 0,8:
$ -2,4 - 0,8 \le 4x + 0,8 - 0,8 \le 4 - 0,8 $
$ -3,2 \le 4x \le 3,2 $
Теперь разделим все части неравенства на 4:
$ \frac{-3,2}{4} \le \frac{4x}{4} \le \frac{3,2}{4} $
$ -0,8 \le x \le 0,8 $
Решением является отрезок $ [-0,8; 0,8] $.
Ответ: $ [-0,8; 0,8] $.

3) Решим двойное неравенство $ 0,2 \le 7 - 4x \le 1,4 $.
Вычтем из всех частей неравенства 7:
$ 0,2 - 7 \le 7 - 4x - 7 \le 1,4 - 7 $
$ -6,8 \le -4x \le -5,6 $
Разделим все части неравенства на -4. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$ \frac{-6,8}{-4} \ge \frac{-4x}{-4} \ge \frac{-5,6}{-4} $
$ 1,7 \ge x \ge 1,4 $
Запишем в привычном виде, поменяв местами левую и правую части:
$ 1,4 \le x \le 1,7 $
Решением является отрезок $ [1,4; 1,7] $.
Ответ: $ [1,4; 1,7] $.

4) Решим двойное неравенство $ 3 < \frac{x}{5} - 2 < 3,2 $.
Прибавим ко всем частям неравенства 2:
$ 3 + 2 < \frac{x}{5} - 2 + 2 < 3,2 + 2 $
$ 5 < \frac{x}{5} < 5,2 $
Умножим все части неравенства на 5:
$ 5 \cdot 5 < \frac{x}{5} \cdot 5 < 5,2 \cdot 5 $
$ 25 < x < 26 $
Решением является интервал $ (25; 26) $.
Ответ: $ (25; 26) $.

5) Решим двойное неравенство $ 2 < \frac{4x + 3}{3} \le 3 $.
Умножим все части неравенства на 3:
$ 2 \cdot 3 < \frac{4x + 3}{3} \cdot 3 \le 3 \cdot 3 $
$ 6 < 4x + 3 \le 9 $
Вычтем из всех частей неравенства 3:
$ 6 - 3 < 4x + 3 - 3 \le 9 - 3 $
$ 3 < 4x \le 6 $
Разделим все части неравенства на 4:
$ \frac{3}{4} < \frac{4x}{4} \le \frac{6}{4} $
$ 0,75 < x \le 1,5 $
Решением является полуинтервал $ (0,75; 1,5] $.
Ответ: $ (0,75; 1,5] $.

6) Решим двойное неравенство $ 2,5 < \frac{2 - 5x}{3} < 4,5 $.
Умножим все части неравенства на 3:
$ 2,5 \cdot 3 < \frac{2 - 5x}{3} \cdot 3 < 4,5 \cdot 3 $
$ 7,5 < 2 - 5x < 13,5 $
Вычтем из всех частей неравенства 2:
$ 7,5 - 2 < 2 - 5x - 2 < 13,5 - 2 $
$ 5,5 < -5x < 11,5 $
Разделим все части неравенства на -5. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$ \frac{5,5}{-5} > \frac{-5x}{-5} > \frac{11,5}{-5} $
$ -1,1 > x > -2,3 $
Запишем в привычном виде:
$ -2,3 < x < -1,1 $
Решением является интервал $ (-2,3; -1,1) $.
Ответ: $ (-2,3; -1,1) $.

49. Сколько целых решений имеет неравенство:

1) $ -5 \leq 3x - 2 \leq -2 $;

2) $ -9 \leq 6x - 7 \leq 4 $?

1) Для того чтобы найти количество целых решений неравенства $ -5 \le 3x - 2 \le -2 $, необходимо сначала решить это двойное неравенство относительно переменной $x$.
Сначала прибавим 2 ко всем трем частям неравенства, чтобы избавиться от -2 в средней части:
$ -5 + 2 \le 3x - 2 + 2 \le -2 + 2 $
$ -3 \le 3x \le 0 $
Теперь разделим все части неравенства на 3, чтобы найти $x$. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства не изменятся:
$ \frac{-3}{3} \le \frac{3x}{3} \le \frac{0}{3} $
$ -1 \le x \le 0 $
Таким образом, решениями неравенства являются все числа в промежутке от -1 до 0, включая концы. Нас интересуют только целые решения. В этот промежуток входят следующие целые числа: -1 и 0.
Следовательно, неравенство имеет 2 целых решения.
Ответ: 2

2) Решим двойное неравенство $ -9 \le 6x - 7 \le 4 $, чтобы найти количество его целых решений.
Сначала прибавим 7 ко всем трем частям неравенства:
$ -9 + 7 \le 6x - 7 + 7 \le 4 + 7 $
$ -2 \le 6x \le 11 $
Теперь разделим все части неравенства на 6:
$ \frac{-2}{6} \le \frac{6x}{6} \le \frac{11}{6} $
Сократим дроби:
$ -\frac{1}{3} \le x \le 1\frac{5}{6} $
Решениями неравенства являются все числа в промежутке от $ -\frac{1}{3} $ (приблизительно -0,33) до $ 1\frac{5}{6} $ (приблизительно 1,83), включая концы. Найдем все целые числа, которые принадлежат этому промежутку.
Это числа 0 и 1.
Следовательно, неравенство имеет 2 целых решения.
Ответ: 2

50. При каких значениях $x$ значения функции $y = x(1-\sqrt{2})$ принадлежат промежутку $[4-4\sqrt{2}; 3-3\sqrt{2}]$?

Чтобы найти значения $x$, при которых значения функции $y = x(1 - \sqrt{2})$ принадлежат промежутку $[4 - 4\sqrt{2}; 3 - 3\sqrt{2}]$, необходимо решить двойное неравенство:

$$4 - 4\sqrt{2} \le y \le 3 - 3\sqrt{2}$$

Подставим выражение для $y$ в неравенство:

$$4 - 4\sqrt{2} \le x(1 - \sqrt{2}) \le 3 - 3\sqrt{2}$$

Для того чтобы найти $x$, нужно разделить все части неравенства на множитель $(1 - \sqrt{2})$. Оценим знак этого множителя. Так как $\sqrt{2} > 1$, то разность $1 - \sqrt{2}$ является отрицательным числом. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$$\frac{4 - 4\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} \ge x \ge \frac{3 - 3\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}$$

Теперь упростим выражения в левой и правой частях. Для этого вынесем общий множитель за скобки в числителях:

$$\frac{4(1 - \sqrt{2})}{1 - \sqrt{2}} \ge x \ge \frac{3(1 - \sqrt{2})}{1 - \sqrt{2}}$$

Сократим дроби:

$$4 \ge x \ge 3$$

Запишем полученное двойное неравенство в стандартном виде:

$$3 \le x \le 4$$

Следовательно, искомые значения $x$ принадлежат отрезку $[3; 4]$.

Ответ: $x \in [3; 4]$

51. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x < 7, \\ x > 5, \\ x < 6,3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x - 5 > 11, \\ 4 - 5x < -2, \\ 3x - 2 > 5; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 0,3 - 2x \ge 1,5, \\ 3,5x - 4 < 10, \\ 2,6x + 7 < 1,1x + 1. \end{cases}$

1)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} x < 7, \\ x > 5, \\ x < 6,3. \end{cases}$

Решением системы является пересечение множеств решений каждого из неравенств. Необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно.

Из второго неравенства имеем $x > 5$.
Из первого и третьего неравенств ($x < 7$ и $x < 6,3$) следует, что нужно выбрать более сильное (ограничивающее) условие. Так как любое число, которое меньше 6,3, автоматически меньше 7, то выбираем условие $x < 6,3$.

Таким образом, система сводится к двум неравенствам:

$\begin{cases} x > 5, \\ x < 6,3. \end{cases}$

Объединяя эти условия, получаем двойное неравенство: $5 < x < 6,3$. Это и есть решение системы.

Ответ: $(5; 6,3)$

2)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} 3x - 5 > 11, \\ 4 - 5x < -2, \\ 3x - 2 > 5. \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $3x - 5 > 11$
$3x > 11 + 5$
$3x > 16$
$x > \frac{16}{3}$

2) $4 - 5x < -2$
$-5x < -2 - 4$
$-5x < -6$
$5x > 6$ (при делении на -1 знак неравенства меняется на противоположный)
$x > \frac{6}{5}$

3) $3x - 2 > 5$
$3x > 5 + 2$
$3x > 7$
$x > \frac{7}{3}$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x > \frac{16}{3}$, $x > \frac{6}{5}$ и $x > \frac{7}{3}$.
Сравним значения: $\frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$, $\frac{6}{5} = 1,2$, $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$.
Чтобы $x$ удовлетворял всем трем условиям, он должен быть больше самого большого из этих чисел. Самое большое число — это $\frac{16}{3}$.
Следовательно, решением системы является $x > \frac{16}{3}$.

Ответ: $(\frac{16}{3}; +\infty)$

3)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} 0,3 - 2x \ge 1,5, \\ 3,5x - 4 < 10, \\ 2,6x + 7 < 1,1x + 1. \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $0,3 - 2x \ge 1,5$
$-2x \ge 1,5 - 0,3$
$-2x \ge 1,2$
$x \le \frac{1,2}{-2}$ (при делении на -2 знак неравенства меняется на противоположный)
$x \le -0,6$

2) $3,5x - 4 < 10$
$3,5x < 10 + 4$
$3,5x < 14$
$x < \frac{14}{3,5}$
$x < 4$

3) $2,6x + 7 < 1,1x + 1$
$2,6x - 1,1x < 1 - 7$
$1,5x < -6$
$x < \frac{-6}{1,5}$
$x < -4$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x \le -0,6$, $x < 4$ и $x < -4$.
Нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют всем трем условиям. Если $x < -4$, то он автоматически будет меньше 4 и меньше либо равен -0,6. Таким образом, самым строгим условием является $x < -4$.

Ответ: $(-\infty; -4)$

52. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{5x - 11} + \sqrt{2x - 7}$;

2) $\sqrt{3x + 5} + \frac{1}{\sqrt{8 - 5x}}$;

3) $\sqrt{3x - 8} + \sqrt{1 - x}?$

1)

Выражение $\sqrt{5x - 11} + \sqrt{2x - 7}$ имеет смысл (определено на множестве действительных чисел), если подкоренные выражения неотрицательны. Это условие приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} 5x - 11 \ge 0 \\ 2x - 7 \ge 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $5x - 11 \ge 0 \implies 5x \ge 11 \implies x \ge \frac{11}{5} \implies x \ge 2,2$

2) $2x - 7 \ge 0 \implies 2x \ge 7 \implies x \ge \frac{7}{2} \implies x \ge 3,5$

Для того чтобы система имела решение, необходимо найти пересечение полученных множеств: $x \ge 2,2$ и $x \ge 3,5$. Общим решением является неравенство $x \ge 3,5$.

Таким образом, выражение имеет смысл при $x \in [3,5; +\infty)$.

Ответ: $x \in [3,5; +\infty)$.

2)

Выражение $\sqrt{3x + 5} + \frac{1}{\sqrt{8 - 5x}}$ имеет смысл, если одновременно выполняются два условия:

1. Подкоренное выражение в первом слагаемом неотрицательно: $3x + 5 \ge 0$.

2. Подкоренное выражение в знаменателе дроби строго положительно, так как на ноль делить нельзя, а корень из отрицательного числа не извлекается: $8 - 5x > 0$.

Составим и решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3x + 5 \ge 0 \\ 8 - 5x > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1) $3x + 5 \ge 0 \implies 3x \ge -5 \implies x \ge -\frac{5}{3}$

2) $8 - 5x > 0 \implies 8 > 5x \implies \frac{8}{5} > x \implies x < 1,6$

Найдем пересечение решений: $x \ge -\frac{5}{3}$ и $x < \frac{8}{5}$.

Таким образом, выражение имеет смысл при $x \in [-\frac{5}{3}; \frac{8}{5})$.

Ответ: $x \in [-\frac{5}{3}; \frac{8}{5})$.

3)

Выражение $\sqrt{3x - 8} + \sqrt{1 - x}$ имеет смысл, если оба подкоренных выражения неотрицательны. Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3x - 8 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

1) $3x - 8 \ge 0 \implies 3x \ge 8 \implies x \ge \frac{8}{3}$

2) $1 - x \ge 0 \implies 1 \ge x \implies x \le 1$

Необходимо найти значения $x$, которые одновременно удовлетворяют двум условиям: $x \ge \frac{8}{3}$ и $x \le 1$.

Поскольку $\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$, а $2\frac{2}{3} > 1$, то не существует такого действительного числа $x$, которое было бы одновременно больше или равно $\frac{8}{3}$ и меньше или равно $1$. Пересечение этих множеств пусто.

Следовательно, данное выражение не имеет смысла ни при каких действительных значениях переменной $x$.

Ответ: таких значений $x$ не существует.