Номер 51, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

51. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x < 7, \\ x > 5, \\ x < 6,3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x - 5 > 11, \\ 4 - 5x < -2, \\ 3x - 2 > 5; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 0,3 - 2x \ge 1,5, \\ 3,5x - 4 < 10, \\ 2,6x + 7 < 1,1x + 1. \end{cases}$

1)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} x < 7, \\ x > 5, \\ x < 6,3. \end{cases}$

Решением системы является пересечение множеств решений каждого из неравенств. Необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно.

Из второго неравенства имеем $x > 5$.
Из первого и третьего неравенств ($x < 7$ и $x < 6,3$) следует, что нужно выбрать более сильное (ограничивающее) условие. Так как любое число, которое меньше 6,3, автоматически меньше 7, то выбираем условие $x < 6,3$.

Таким образом, система сводится к двум неравенствам:

$\begin{cases} x > 5, \\ x < 6,3. \end{cases}$

Объединяя эти условия, получаем двойное неравенство: $5 < x < 6,3$. Это и есть решение системы.

Ответ: $(5; 6,3)$

2)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} 3x - 5 > 11, \\ 4 - 5x < -2, \\ 3x - 2 > 5. \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $3x - 5 > 11$
$3x > 11 + 5$
$3x > 16$
$x > \frac{16}{3}$

2) $4 - 5x < -2$
$-5x < -2 - 4$
$-5x < -6$
$5x > 6$ (при делении на -1 знак неравенства меняется на противоположный)
$x > \frac{6}{5}$

3) $3x - 2 > 5$
$3x > 5 + 2$
$3x > 7$
$x > \frac{7}{3}$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x > \frac{16}{3}$, $x > \frac{6}{5}$ и $x > \frac{7}{3}$.
Сравним значения: $\frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$, $\frac{6}{5} = 1,2$, $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$.
Чтобы $x$ удовлетворял всем трем условиям, он должен быть больше самого большого из этих чисел. Самое большое число — это $\frac{16}{3}$.
Следовательно, решением системы является $x > \frac{16}{3}$.

Ответ: $(\frac{16}{3}; +\infty)$

3)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} 0,3 - 2x \ge 1,5, \\ 3,5x - 4 < 10, \\ 2,6x + 7 < 1,1x + 1. \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $0,3 - 2x \ge 1,5$
$-2x \ge 1,5 - 0,3$
$-2x \ge 1,2$
$x \le \frac{1,2}{-2}$ (при делении на -2 знак неравенства меняется на противоположный)
$x \le -0,6$

2) $3,5x - 4 < 10$
$3,5x < 10 + 4$
$3,5x < 14$
$x < \frac{14}{3,5}$
$x < 4$

3) $2,6x + 7 < 1,1x + 1$
$2,6x - 1,1x < 1 - 7$
$1,5x < -6$
$x < \frac{-6}{1,5}$
$x < -4$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x \le -0,6$, $x < 4$ и $x < -4$.
Нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют всем трем условиям. Если $x < -4$, то он автоматически будет меньше 4 и меньше либо равен -0,6. Таким образом, самым строгим условием является $x < -4$.

Ответ: $(-\infty; -4)$