Номер 47, страница 81 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

47. Найдите множество решений системы неравенств:

1) $\begin{cases} 3(x - 2) > 2(x - 1) + x - 6, \\ 0,3(x - 1) \le 2(x + 1,2) + 0,7; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3 - \frac{4x - 5}{9} < 7x, \\ 2(3x + 1) < 6(x - 2) - 1. \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3(x - 2) > 2(x - 1) + x - 6 \\ 0.3(x - 1) \le 2(x + 1.2) + 0.7 \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$3(x - 2) > 2(x - 1) + x - 6$

Раскроем скобки:

$3x - 6 > 2x - 2 + x - 6$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$3x - 6 > 3x - 8$

Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$3x - 3x > -8 + 6$

$0 > -2$

Полученное неравенство является верным числовым неравенством, которое не зависит от $x$. Это означает, что решением первого неравенства является любое действительное число, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство:

$0.3(x - 1) \le 2(x + 1.2) + 0.7$

Раскроем скобки:

$0.3x - 0.3 \le 2x + 2.4 + 0.7$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$0.3x - 0.3 \le 2x + 3.1$

Перенесем члены с переменной $x$ в правую часть, а постоянные члены — в левую:

$-0.3 - 3.1 \le 2x - 0.3x$

$-3.4 \le 1.7x$

Разделим обе части неравенства на $1.7$. Так как $1.7 > 0$, знак неравенства не меняется:

$\frac{-3.4}{1.7} \le x$

$-2 \le x$ или $x \ge -2$

Решением второго неравенства является числовой промежуток $[-2; +\infty)$.

Решением системы неравенств является пересечение решений каждого из неравенств. Найдем пересечение множеств $(-\infty; +\infty)$ и $[-2; +\infty)$.

$(-\infty; +\infty) \cap [-2; +\infty) = [-2; +\infty)$.

Ответ: $[-2; +\infty)$.

2)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3 - \frac{4x - 5}{9} < 7x \\ 2(3x + 1) < 6(x - 2) - 1 \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$3 - \frac{4x - 5}{9} < 7x$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на 9:

$9 \cdot 3 - 9 \cdot \frac{4x - 5}{9} < 9 \cdot 7x$

$27 - (4x - 5) < 63x$

Раскроем скобки, обращая внимание на знак "минус" перед ними:

$27 - 4x + 5 < 63x$

$32 - 4x < 63x$

Перенесем член с переменной $x$ в правую часть:

$32 < 63x + 4x$

$32 < 67x$

Разделим обе части неравенства на $67$. Так как $67 > 0$, знак неравенства не меняется:

$\frac{32}{67} < x$ или $x > \frac{32}{67}$

Решением первого неравенства является числовой промежуток $(\frac{32}{67}; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство:

$2(3x + 1) < 6(x - 2) - 1$

Раскроем скобки:

$6x + 2 < 6x - 12 - 1$

$6x + 2 < 6x - 13$

Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$6x - 6x < -13 - 2$

$0 < -15$

Полученное неравенство является неверным числовым неравенством. Это означает, что второе неравенство не имеет решений. Множество его решений — пустое множество ($\emptyset$).

Поскольку решение системы — это пересечение множеств решений каждого из неравенств, а одно из множеств пустое, то и вся система не имеет решений.

Ответ: решений нет.