Номер 44, страница 80 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

44. Изобразите на координатной прямой и запишите пересечение промежутков:

1) $(0; 5)$ и $[-2; 3)$;

2) $[3; 6]$ и $(3; 6)$;

3) $(-\infty; 2)$ и $[0; +\infty)$;

4) $(-\infty; -2.8)$ и $[-2.8; +\infty)$;

5) $[6; +\infty)$ и $(6; +\infty)$;

6) $(3; +\infty)$ и $(3.1; +\infty)$.

1) $(0; 5)$ и $[-2; 3]$

Изобразим данные промежутки на координатной прямой. Промежуток $(0; 5)$ представляет собой все числа, строго большие 0 и строго меньшие 5. На прямой он обозначается интервалом с выколотыми (пустыми) точками на концах. Промежуток $[-2; 3]$ включает все числа от -2 до 3, включая концы. На прямой он обозначается отрезком с закрашенными (сплошными) точками.

Пересечением двух промежутков является их общая часть. На изображении видно, что промежутки перекрываются на участке от 0 до 3. Точка 0 не принадлежит первому промежутку $(0; 5)$, поэтому она не входит в пересечение. Точка 3 принадлежит обоим промежуткам, поэтому она входит в пересечение. Таким образом, пересечение есть полуинтервал $(0; 3]$.

Ответ: $(0; 3]$.

2) $[3; 6]$ и $(3; 6)$

Промежуток $[3; 6]$ — это отрезок, включающий концы 3 и 6. Промежуток $(3; 6)$ — это интервал, не включающий свои концы 3 и 6. Изобразим их на координатной прямой.

Общей частью этих двух промежутков являются все числа, которые строго больше 3 и строго меньше 6. Концевые точки 3 и 6 не входят в интервал $(3; 6)$, поэтому они не могут входить и в их пересечение.

Ответ: $(3; 6)$.

3) $(-\infty; 2)$ и $[0; +\infty)$

Промежуток $(-\infty; 2)$ — это луч, содержащий все числа, меньшие 2. Промежуток $[0; +\infty)$ — это луч, содержащий все числа, большие или равные 0. Изобразим их на координатной прямой.

Пересечение этих лучей — это множество чисел, которые одновременно больше или равны 0 и строго меньше 2. Точка 0 входит во второй промежуток и удовлетворяет условию первого ($0 < 2$), поэтому 0 входит в пересечение. Точка 2 не входит в первый промежуток, поэтому не входит в пересечение.

Ответ: $[0; 2)$.

4) $(-\infty; -2,8)$ и $[-2,8; +\infty)$

Первый промежуток $(-\infty; -2,8)$ — это все числа, строго меньшие -2,8. Второй промежуток $[-2,8; +\infty)$ — это все числа, большие или равные -2,8. Изобразим их на координатной прямой.

Как видно из изображения, у этих двух промежутков нет общих точек. Одно множество заканчивается там, где начинается другое. Точка -2,8 принадлежит второму множеству, но не принадлежит первому. Следовательно, их пересечение пусто.

Ответ: $\emptyset$.

5) $[6; +\infty)$ и $(6; +\infty)$

Промежуток $[6; +\infty)$ включает все числа, большие или равные 6. Промежуток $(6; +\infty)$ включает все числа, строго большие 6. Изобразим их на координатной прямой.

Общей частью этих двух промежутков являются все числа, которые строго больше 6. Число 6 входит в первый промежуток, но не входит во второй, поэтому в пересечение оно не попадает.

Ответ: $(6; +\infty)$.

6) $(3; +\infty)$ и $(3,1; +\infty)$

Первый промежуток $(3; +\infty)$ — это все числа, строго большие 3. Второй промежуток $(3,1; +\infty)$ — это все числа, строго большие 3,1. Изобразим их на координатной прямой.

Пересечением этих двух множеств будут числа, которые удовлетворяют обоим условиям: $x > 3$ и $x > 3,1$. Если число больше 3,1, оно автоматически больше 3. Таким образом, общее условие — это более строгое из двух, то есть $x > 3,1$.

Ответ: $(3,1; +\infty)$.