Номер 37, страница 79 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

37. При каких значениях $a$ не имеет корней уравнение:

1) $x^2 - 8x - 3a = 0;$

2) $(a+2)x^2 - 2(a-4)x + a+1 = 0;$

3) $(a+1)x^2 - (2a+5)x + a+3 = 0?$

1) $x^2 - 8x - 3a = 0$
Данное уравнение является квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен ($D < 0$).
Коэффициенты уравнения: $A=1$, $B=-8$, $C=-3a$.
Найдем дискриминант:
$D = B^2 - 4AC = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3a) = 64 + 12a$
Теперь решим неравенство $D < 0$:
$64 + 12a < 0$
$12a < -64$
$a < -\frac{64}{12}$
$a < -\frac{16}{3}$
Таким образом, уравнение не имеет корней при $a < -16/3$.
Ответ: $a \in (-\infty; -16/3)$.

2) $(a + 2)x^2 - 2(a - 4)x + a + 1 = 0$
Это уравнение с параметром, которое может быть как квадратным, так и линейным.
Случай 1: Уравнение является квадратным.
Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю: $a + 2 \neq 0$, то есть $a \neq -2$.
В этом случае уравнение не имеет корней, если его дискриминант $D < 0$. Так как коэффициент при $x$ четный, удобнее использовать $D/4 = (B/2)^2 - AC$.
$A = a+2$, $B/2 = -(a-4)$, $C = a+1$.
$D/4 = (-(a-4))^2 - (a+2)(a+1) = (a^2 - 8a + 16) - (a^2 + a + 2a + 2)$
$D/4 = a^2 - 8a + 16 - a^2 - 3a - 2 = 14 - 11a$
Решим неравенство $D/4 < 0$:
$14 - 11a < 0$
$14 < 11a$
$a > \frac{14}{11}$
Это решение удовлетворяет условию $a \neq -2$.
Случай 2: Уравнение является линейным.
Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $a + 2 = 0$, то есть $a = -2$.
Подставим $a = -2$ в исходное уравнение:
$(-2 + 2)x^2 - 2(-2 - 4)x + (-2 + 1) = 0$
$0 \cdot x^2 - 2(-6)x - 1 = 0$
$12x - 1 = 0$
Это линейное уравнение имеет один корень $x = 1/12$. Следовательно, при $a=-2$ у уравнения есть корень.
Объединяя результаты, получаем, что исходное уравнение не имеет корней только при $a > 14/11$.
Ответ: $a \in (14/11; +\infty)$.

3) $(a + 1)x^2 - (2a + 5)x + a + 3 = 0$
Рассмотрим два случая.
Случай 1: Уравнение является квадратным.
Это происходит при $a + 1 \neq 0$, то есть $a \neq -1$.
Уравнение не имеет корней, если дискриминант $D < 0$.
$A = a+1$, $B = -(2a+5)$, $C = a+3$.
$D = B^2 - 4AC = (-(2a+5))^2 - 4(a+1)(a+3)$
$D = (4a^2 + 20a + 25) - 4(a^2 + 4a + 3)$
$D = 4a^2 + 20a + 25 - 4a^2 - 16a - 12 = 4a + 13$
Решим неравенство $D < 0$:
$4a + 13 < 0$
$4a < -13$
$a < -\frac{13}{4}$
Это решение ($a < -3.25$) удовлетворяет условию $a \neq -1$.
Случай 2: Уравнение является линейным.
Это происходит при $a + 1 = 0$, то есть $a = -1$.
Подставим $a = -1$ в исходное уравнение:
$(-1 + 1)x^2 - (2(-1) + 5)x + (-1 + 3) = 0$
$0 \cdot x^2 - (-2 + 5)x + 2 = 0$
$-3x + 2 = 0$
Это линейное уравнение имеет один корень $x = 2/3$. Следовательно, при $a=-1$ у уравнения есть корень.
Объединяя результаты, получаем, что исходное уравнение не имеет корней только при $a < -13/4$.
Ответ: $a \in (-\infty; -13/4)$.