Номер 58, страница 82 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

58. Для каждого значения $a$ решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x > 5, \\ x < a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x < -1, \\ x < -a. \end{cases}$

1)

Дана система неравенств:
$ \begin{cases} x > 5 \\ x < a \end{cases} $
Решением системы являются все значения $x$, которые одновременно больше 5 и меньше $a$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $5 < x < a$.

Такое множество решений существует (не является пустым) только в том случае, если правая граница интервала больше левой, то есть $a > 5$. Рассмотрим все возможные случаи для параметра $a$:
- Если $a \le 5$, то не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно больше 5 и меньше (или равно) 5. В этом случае система не имеет решений.
- Если $a > 5$, то решением системы является интервал $(5; a)$.

Ответ: если $a \le 5$, решений нет; если $a > 5$, то $x \in (5; a)$.

2)

Дана система неравенств:
$ \begin{cases} x < -1 \\ x < -a \end{cases} $
Решением системы являются все значения $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам. Это означает, что $x$ должен быть строго меньше каждого из чисел $-1$ и $-a$. Следовательно, $x$ должен быть меньше наименьшего из этих двух чисел: $x < \min(-1, -a)$.

Чтобы определить, какое из чисел меньше, сравним $-1$ и $-a$ в зависимости от значения $a$:
- Если $-a < -1$. Умножив обе части на -1, получим равносильное неравенство $a > 1$. В этом случае наименьшим числом является $-a$, и решением системы будет $x < -a$.
- Если $-a \ge -1$. Умножив обе части на -1, получим равносильное неравенство $a \le 1$. В этом случае наименьшим числом (или равным) является $-1$, и решением системы будет $x < -1$. (Этот случай включает в себя и $a=1$, когда $-a=-1$).

Ответ: если $a \le 1$, то $x \in (-\infty; -1)$; если $a > 1$, то $x \in (-\infty; -a)$.