Номер 55, страница 82 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

55. Решите неравенство:

1) $|x| > 2;$

2) $|x + 3| \ge 4,3;$

3) $|0,6x + 3| \ge 2;$

4) $|13 - 5x| > 9.$

1) $|x| > 2$

Неравенство вида $|f(x)| > a$, где $a > 0$, равносильно совокупности (объединению) двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

В данном случае получаем:

$x > 2$ или $x < -2$.

Решением является объединение интервалов $(-\infty; -2)$ и $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$

2) $|x + 3| \ge 4,3$

Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x + 3 \ge 4,3$ или $x + 3 \le -4,3$.

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $x + 3 \ge 4,3$

$x \ge 4,3 - 3$

$x \ge 1,3$

2) $x + 3 \le -4,3$

$x \le -4,3 - 3$

$x \le -7,3$

Объединяя полученные решения, получаем ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; -7,3] \cup [1,3; +\infty)$

3) $|0,6x + 3| \ge 2$

Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$0,6x + 3 \ge 2$ или $0,6x + 3 \le -2$.

Решим каждое неравенство:

1) $0,6x + 3 \ge 2$

$0,6x \ge 2 - 3$

$0,6x \ge -1$

$x \ge \frac{-1}{0,6} \implies x \ge -\frac{1}{6/10} \implies x \ge -\frac{10}{6} \implies x \ge -\frac{5}{3}$

2) $0,6x + 3 \le -2$

$0,6x \le -2 - 3$

$0,6x \le -5$

$x \le \frac{-5}{0,6} \implies x \le -\frac{5}{6/10} \implies x \le -\frac{50}{6} \implies x \le -\frac{25}{3}$

Объединяя решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{25}{3}] \cup [-\frac{5}{3}; +\infty)$

4) $|13 - 5x| > 9$

Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$13 - 5x > 9$ или $13 - 5x < -9$.

Решим каждое неравенство:

1) $13 - 5x > 9$

$-5x > 9 - 13$

$-5x > -4$

При делении на отрицательное число $-5$ знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-4}{-5} \implies x < \frac{4}{5}$

2) $13 - 5x < -9$

$-5x < -9 - 13$

$-5x < -22$

При делении на $-5$ знак неравенства снова меняется:

$x > \frac{-22}{-5} \implies x > \frac{22}{5}$

Объединяя решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{4}{5}) \cup (\frac{22}{5}; +\infty)$