Страница 84 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

67. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = 3x + 5;$

2) $f(x) = \frac{7}{x + 8};$

3) $f(x) = \frac{x - 2}{3};$

4) $f(x) = \frac{3x + 6}{2x - 1};$

5) $f(x) = \sqrt{5 - x};$

6) $f(x) = \frac{3}{\sqrt{x + 2}};$

7) $f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 - 6};$

8) $f(x) = \frac{3}{x^2 + 9};$

9) $f(x) = \frac{5x + 4}{4x^2 - x};$

10) $f(x) = \frac{x}{|x| - 2};$

11) $f(x) = \frac{x - 2}{|x| + 4};$

12) $f(x) = \frac{5}{x^2 - |x|};$

13) $f(x) = \sqrt{x - 3} - \sqrt{6 - x};$

14) $f(x) = \sqrt{x + 2} + \frac{x - 5}{2x + 1};$

15) $f(x) = \sqrt{7 - x} - \sqrt{x - 7};$

16) $f(x) = \sqrt{x - 5} - \frac{3}{\sqrt{4 - x}};$

17) $f(x) = \sqrt{x + 3} + \frac{x + 2}{x^2 - 9};$

18) $f(x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 4}} - \frac{3x - 1}{x^2 - x - 6};$

1) Функция $f(x) = 3x + 5$ является линейной. Линейные функции определены для всех действительных чисел.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.

2) Функция $f(x) = \frac{7}{x+8}$ является дробно-рациональной. Область определения такой функции — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.
$x+8 \neq 0$
$x \neq -8$
Следовательно, область определения — это все действительные числа, кроме $-8$.
Ответ: $D(f) = (-\infty; -8) \cup (-8; +\infty)$.

3) Функция $f(x) = \frac{x-2}{3}$ является линейной ($f(x) = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$). Она определена для всех действительных чисел.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.

4) Функция $f(x) = \frac{3x+6}{2x-1}$ является дробно-рациональной. Знаменатель не может быть равен нулю.
$2x-1 \neq 0$
$2x \neq 1$
$x \neq \frac{1}{2}$
Область определения — все действительные числа, кроме $\frac{1}{2}$.
Ответ: $D(f) = (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

5) Функция $f(x) = \sqrt{5-x}$ содержит квадратный корень. Выражение под корнем (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным.
$5-x \ge 0$
$5 \ge x$
$x \le 5$
Ответ: $D(f) = (-\infty; 5]$.

6) Функция $f(x) = \frac{3}{\sqrt{x+2}}$ содержит квадратный корень в знаменателе. Подкоренное выражение должно быть строго положительным (неотрицательным из-за корня и не равным нулю из-за знаменателя).
$x+2 > 0$
$x > -2$
Ответ: $D(f) = (-2; +\infty)$.

7) Функция $f(x) = \frac{2x+1}{x^2-6}$ является дробно-рациональной. Знаменатель не должен быть равен нулю.
$x^2-6 \neq 0$
$x^2 \neq 6$
$x \neq \pm\sqrt{6}$
Ответ: $D(f) = (-\infty; -\sqrt{6}) \cup (-\sqrt{6}; \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}; +\infty)$.

8) Функция $f(x) = \frac{3}{x^2+9}$ является дробно-рациональной. Проверим знаменатель: $x^2+9$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2+9 \ge 9$. Знаменатель никогда не равен нулю. Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.

9) Функция $f(x) = \frac{5x+4}{4x^2-x}$ является дробно-рациональной. Знаменатель не должен быть равен нулю.
$4x^2-x \neq 0$
$x(4x-1) \neq 0$
Это означает, что $x \neq 0$ и $4x-1 \neq 0$.
$4x \neq 1 \implies x \neq \frac{1}{4}$
Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}; +\infty)$.

10) Функция $f(x) = \frac{x}{|x|-2}$ имеет знаменатель, который не должен быть равен нулю.
$|x|-2 \neq 0$
$|x| \neq 2$
$x \neq 2$ и $x \neq -2$
Ответ: $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

11) Функция $f(x) = \frac{x-2}{|x|+4}$ имеет знаменатель $|x|+4$. Так как $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$, то $|x|+4 \ge 4$. Знаменатель никогда не равен нулю. Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.

12) Функция $f(x) = \frac{5}{x^2-|x|}$ имеет знаменатель, который не должен быть равен нулю.
$x^2-|x| \neq 0$
Так как $x^2 = |x|^2$, можно переписать: $|x|^2-|x| \neq 0$.
$|x|(|x|-1) \neq 0$
Это означает, что $|x| \neq 0$ и $|x|-1 \neq 0$.
$|x| \neq 0 \implies x \neq 0$
$|x| \neq 1 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$
Ответ: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

13) Функция $f(x) = \sqrt{x-3} - \sqrt{6-x}$ состоит из разности двух корней. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x-3 \ge 0 \\ 6-x \ge 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge 3 \\ x \le 6 \end{cases}$
Пересечением этих условий является отрезок $[3; 6]$.
Ответ: $D(f) = [3; 6]$.

14) Функция $f(x) = \sqrt{x+2} + \frac{x-5}{2x+1}$ содержит и квадратный корень, и дробь.
1. Для корня: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
2. Для дроби: знаменатель $2x+1 \neq 0 \implies 2x \neq -1 \implies x \neq -\frac{1}{2}$.
Объединяя условия, получаем, что $x$ должен быть больше или равен $-2$, но не равен $-\frac{1}{2}$.
Ответ: $D(f) = [-2; -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}; +\infty)$.

15) Функция $f(x) = \sqrt{7-x} - \sqrt{x-7}$ содержит два квадратных корня. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными.
$\begin{cases} 7-x \ge 0 \\ x-7 \ge 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x \le 7 \\ x \ge 7 \end{cases}$
Единственное число, удовлетворяющее обоим неравенствам, это $x=7$.
Ответ: $D(f) = \{7\}$.

16) Функция $f(x) = \sqrt{x-5} - \frac{3}{\sqrt{4-x}}$ имеет два ограничения.
1. Для $\sqrt{x-5}$: $x-5 \ge 0 \implies x \ge 5$.
2. Для $\frac{3}{\sqrt{4-x}}$: подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным, $4-x > 0 \implies x < 4$.
Нужно найти пересечение условий $x \ge 5$ и $x < 4$. Таких значений $x$ не существует. Область определения пуста.
Ответ: $D(f) = \emptyset$.

17) Функция $f(x) = \sqrt{x+3} + \frac{x+2}{x^2-9}$ содержит корень и дробь.
1. Для корня: $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$.
2. Для дроби: знаменатель $x^2-9 \neq 0 \implies x^2 \neq 9 \implies x \neq \pm3$.
Объединяем условия: $x \ge -3$ и при этом $x \neq -3$ и $x \neq 3$. Это эквивалентно $x > -3$ и $x \neq 3$.
Ответ: $D(f) = (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

18) Функция $f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+4}} - \frac{3x-1}{x^2-x-6}$ состоит из двух слагаемых, на которые наложены ограничения.
1. Для дроби $\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+4}}$:
а) подкоренное выражение в числителе: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
б) подкоренное выражение в знаменателе: $x+4 > 0 \implies x > -4$.
Пересечение этих двух условий: $x \ge 1$.
2. Для дроби $\frac{3x-1}{x^2-x-6}$: знаменатель не равен нулю.
$x^2-x-6 \neq 0$.
Найдем корни уравнения $x^2-x-6=0$. По теореме Виета $x_1=3, x_2=-2$.
Значит, $x \neq 3$ и $x \neq -2$.
Теперь объединим все условия: $x \ge 1$, $x \neq 3$, $x \neq -2$. Условие $x \neq -2$ уже выполняется, так как мы рассматриваем $x \ge 1$. Остается исключить $x=3$ из промежутка $[1; +\infty)$.
Ответ: $D(f) = [1; 3) \cup (3; +\infty)$.

68. Найдите область значений функции:

1) $f(x) = \sqrt{x} + 2$;

2) $f(x) = \sqrt{x} - 3$;

3) $f(x) = 4 - x^2$;

4) $f(x) = x^2 + 1$;

5) $f(x) = |x| - 1$;

6) $f(x) = \sqrt{x^2 + 9} - 1$;

7) $f(x) = \sqrt{-|x| + 1}$;

8) $f(x) = \sqrt{x - 8} - \sqrt{8 - x}$.

1) Дана функция $f(x) = \sqrt{x} + 2$.
Область значений функции $g(x) = \sqrt{x}$ есть промежуток $[0, +\infty)$. Это означает, что $\sqrt{x} \ge 0$ для всех $x$ из области определения.
Прибавляя 2 к обеим частям неравенства, получаем: $\sqrt{x} + 2 \ge 2$.
Следовательно, $f(x) \ge 2$.
Область значений функции – это промежуток $[2, +\infty)$.
Ответ: $E(f) = [2, +\infty)$

2) Дана функция $f(x) = \sqrt{x} - 3$.
Область значений функции $g(x) = \sqrt{x}$ есть промежуток $[0, +\infty)$, то есть $\sqrt{x} \ge 0$.
Вычитая 3 из обеих частей неравенства, получаем: $\sqrt{x} - 3 \ge -3$.
Следовательно, $f(x) \ge -3$.
Область значений функции – это промежуток $[-3, +\infty)$.
Ответ: $E(f) = [-3, +\infty)$

3) Дана функция $f(x) = 4 - x^2$.
Выражение $x^2$ принимает любые неотрицательные значения, то есть $x^2 \ge 0$.
Умножим неравенство на -1, при этом знак неравенства меняется на противоположный: $-x^2 \le 0$.
Прибавим 4 к обеим частям неравенства: $4 - x^2 \le 4$.
Следовательно, $f(x) \le 4$.
Область значений функции – это промежуток $(-\infty, 4]$.
Ответ: $E(f) = (-\infty, 4]$

4) Дана функция $f(x) = x^2 + 1$.
Выражение $x^2$ принимает любые неотрицательные значения: $x^2 \ge 0$.
Прибавим 1 к обеим частям неравенства: $x^2 + 1 \ge 1$.
Следовательно, $f(x) \ge 1$.
Область значений функции – это промежуток $[1, +\infty)$.
Ответ: $E(f) = [1, +\infty)$

5) Дана функция $f(x) = |x| - 1$.
Модуль любого числа является неотрицательной величиной: $|x| \ge 0$.
Вычтем 1 из обеих частей неравенства: $|x| - 1 \ge -1$.
Следовательно, $f(x) \ge -1$.
Область значений функции – это промежуток $[-1, +\infty)$.
Ответ: $E(f) = [-1, +\infty)$

6) Дана функция $f(x) = \sqrt{x^2 + 9} - 1$.
Рассмотрим выражение под корнем. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 9 \ge 9$.
Поскольку функция $g(t) = \sqrt{t}$ возрастающая для неотрицательных $t$, то из $x^2 + 9 \ge 9$ следует $\sqrt{x^2 + 9} \ge \sqrt{9}$, то есть $\sqrt{x^2 + 9} \ge 3$.
Вычтем 1 из обеих частей неравенства: $\sqrt{x^2 + 9} - 1 \ge 3 - 1$, что дает $\sqrt{x^2 + 9} - 1 \ge 2$.
Следовательно, $f(x) \ge 2$.
Область значений функции – это промежуток $[2, +\infty)$.
Ответ: $E(f) = [2, +\infty)$

7) Дана функция $f(x) = \sqrt{1-|x|}$.
Сначала найдем область определения функции. По определению квадратного корня, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $1 - |x| \ge 0$.
Отсюда $|x| \le 1$, что равносильно $-1 \le x \le 1$.
Теперь найдем область значений. Значение квадратного корня всегда неотрицательно, поэтому $f(x) \ge 0$.
Чтобы найти максимальное значение функции, нужно найти максимум подкоренного выражения $1 - |x|$ на отрезке $[-1, 1]$. Выражение $1-|x|$ достигает своего максимума, когда $|x|$ минимально. Минимальное значение $|x|$ на отрезке $[-1, 1]$ равно 0 (при $x=0$).
Максимальное значение функции: $f(0) = \sqrt{1 - |0|} = \sqrt{1} = 1$.
Минимальное значение функции достигается, когда $1-|x|$ минимально, то есть когда $|x|$ максимально. Максимальное значение $|x|$ на отрезке $[-1, 1]$ равно 1 (при $x=1$ и $x=-1$).
Минимальное значение функции: $f(1) = \sqrt{1 - |1|} = 0$.
Таким образом, значения функции лежат в промежутке от 0 до 1 включительно.
Ответ: $E(f) = [0, 1]$

8) Дана функция $f(x) = \sqrt{x-8} - \sqrt{8-x}$.
Найдем область определения функции. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. $$ \begin{cases} x-8 \ge 0 \\ 8-x \ge 0 \end{cases} $$ Решая систему неравенств, получаем: $$ \begin{cases} x \ge 8 \\ x \le 8 \end{cases} $$ Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, это $x=8$.
Таким образом, область определения функции состоит из одной точки $x=8$.
Найдем значение функции в этой точке: $f(8) = \sqrt{8-8} - \sqrt{8-8} = \sqrt{0} - \sqrt{0} = 0$.
Поскольку функция определена только в одной точке, ее область значений состоит из одного числа.
Ответ: $E(f) = \{0\}$

69. Постройте график функции:

1) $f(x) = 3 - \frac{1}{2}x;$

2) $f(x) = -4x;$

3) $f(x) = -3;$

4) $f(x) = \frac{12}{x}.$

1) $f(x) = 3 - \frac{1}{2}x$

Данная функция является линейной, её можно представить в виде $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = -\frac{1}{2}$ и свободный член $b = 3$. Графиком линейной функции является прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью Oy). Для этого подставим $x = 0$ в уравнение функции:
$f(0) = 3 - \frac{1}{2} \cdot 0 = 3$.
Таким образом, первая точка имеет координаты $(0, 3)$.

2. Найдем вторую точку, взяв произвольное значение $x$, например, $x = 2$:
$f(2) = 3 - \frac{1}{2} \cdot 2 = 3 - 1 = 2$.
Вторая точка имеет координаты $(2, 2)$.

Для построения графика необходимо отметить на координатной плоскости точки $(0, 3)$ и $(2, 2)$ и провести через них прямую линию.

Ответ: Графиком функции является прямая линия, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(2, 2)$.

2) $f(x) = -4x$

Это линейная функция вида $y = kx$, которая является частным случаем и называется прямой пропорциональностью. Её график — это прямая линия, которая всегда проходит через начало координат, точку $(0, 0)$. Для построения прямой нам нужна еще одна точка.

Возьмем произвольное ненулевое значение $x$, например, $x = 1$:
$f(1) = -4 \cdot 1 = -4$.
Таким образом, вторая точка имеет координаты $(1, -4)$.

График строим, проводя прямую линию через начало координат $(0, 0)$ и точку $(1, -4)$. Так как угловой коэффициент $k = -4$ отрицательный, функция является убывающей, и ее график расположен во второй и четвертой координатных четвертях.

Ответ: Графиком функции является прямая линия, проходящая через начало координат и точку $(1, -4)$.

3) $f(x) = -3$

Это постоянная функция (константа) вида $y = c$, где $c = -3$. Это означает, что для любого значения аргумента $x$ значение функции всегда будет равно -3.

Графиком такой функции является прямая линия, параллельная оси абсцисс (оси Ox). Эта прямая проходит через точку $(0, -3)$ на оси ординат (оси Oy).

Ответ: Графиком функции является прямая линия, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, -3)$.

4) $f(x) = \frac{12}{x}$

Данная функция является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k = 12$. Графиком такой функции является гипербола. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$.

Поскольку коэффициент $k = 12 > 0$, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях. Оси координат (Ox и Oy) являются асимптотами графика, то есть линиями, к которым ветви гиперболы бесконечно приближаются, но никогда их не пересекают. Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек на каждой ветви.

Таблица значений для первой ветви (I четверть, $x > 0$):

• При $x = 2, y = \frac{12}{2} = 6$. Точка $(2, 6)$.
• При $x = 3, y = \frac{12}{3} = 4$. Точка $(3, 4)$.
• При $x = 4, y = \frac{12}{4} = 3$. Точка $(4, 3)$.
• При $x = 6, y = \frac{12}{6} = 2$. Точка $(6, 2)$.

Вторая ветвь (III четверть, $x < 0$) симметрична первой относительно начала координат:

• При $x = -2, y = \frac{12}{-2} = -6$. Точка $(-2, -6)$.
• При $x = -3, y = \frac{12}{-3} = -4$. Точка $(-3, -4)$.
• При $x = -4, y = \frac{12}{-4} = -3$. Точка $(-4, -3)$.
• При $x = -6, y = \frac{12}{-6} = -2$. Точка $(-6, -2)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями в каждой четверти, мы получим график гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях, а асимптотами служат оси координат.