Номер 88, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

88. Постройте график функции $y = \frac{12}{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \frac{12}{x} - 2;$

2) $y = \frac{12}{x - 3};$

3) $y = \frac{12}{x + 1} + 1;$

4) $y = \frac{3x + 12}{x};$

5) $y = \frac{2x - 16}{x - 2}.$

Сначала построим график базовой функции $y = \frac{12}{x}$.

Это гипербола, состоящая из двух ветвей. Область определения функции: $x \ne 0$. Область значений: $y \ne 0$.

Осями симметрии для графика являются прямые $y=x$ и $y=-x$. Центр симметрии — начало координат $(0, 0)$.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось Oy)
• Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось Ox)

Поскольку коэффициент $k=12 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

Для построения составим таблицу значений для нескольких точек:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, получим график функции $y = \frac{12}{x}$. Теперь, используя этот график, построим графики остальных функций с помощью геометрических преобразований.

1) $y = \frac{12}{x} - 2$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{12}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на 2 единицы вниз. Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ перейдет в точку $(x_0, y_0 - 2)$.

Вертикальная асимптота останется прежней: $x=0$.

Горизонтальная асимптота сдвинется на 2 единицы вниз и станет $y=-2$.

Ответ: График функции $y = \frac{12}{x} - 2$ получается из графика $y = \frac{12}{x}$ сдвигом на 2 единицы вниз вдоль оси ординат.

2) $y = \frac{12}{x-3}$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{12}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Ox$ на 3 единицы вправо. Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ перейдет в точку $(x_0+3, y_0)$.

Вертикальная асимптота сдвинется на 3 единицы вправо и станет $x=3$.

Горизонтальная асимптота останется прежней: $y=0$.

Ответ: График функции $y = \frac{12}{x-3}$ получается из графика $y = \frac{12}{x}$ сдвигом на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

3) $y = \frac{12}{x+1} + 1$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{12}{x}$ с помощью двух параллельных переносов:

1. Сдвиг вдоль оси $Ox$ на 1 единицу влево (так как $x+1 = x - (-1)$).
2. Сдвиг вдоль оси $Oy$ на 1 единицу вверх.

Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ перейдет в точку $(x_0-1, y_0+1)$.

Вертикальная асимптота сдвинется на 1 единицу влево: $x=-1$.

Горизонтальная асимптота сдвинется на 1 единицу вверх: $y=1$.

Ответ: График функции $y = \frac{12}{x+1} + 1$ получается из графика $y = \frac{12}{x}$ сдвигом на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс и на 1 единицу вверх вдоль оси ординат.

4) $y = \frac{3x+12}{x}$

Сначала преобразуем выражение, разделив числитель почленно на знаменатель:

$y = \frac{3x}{x} + \frac{12}{x} = 3 + \frac{12}{x}$

Таким образом, мы получили функцию $y = \frac{12}{x} + 3$.

График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{12}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на 3 единицы вверх. Каждая точка графика $(x_0, y_0)$ перейдет в точку $(x_0, y_0 + 3)$.

Вертикальная асимптота останется прежней: $x=0$.

Горизонтальная асимптота сдвинется на 3 единицы вверх и станет $y=3$.

Ответ: График функции $y = \frac{3x+12}{x}$ получается из графика $y = \frac{12}{x}$ сдвигом на 3 единицы вверх вдоль оси ординат.

5) $y = \frac{2x-16}{x-2}$

Преобразуем выражение, выделив целую часть дроби:

$y = \frac{2x-4-12}{x-2} = \frac{2(x-2)-12}{x-2} = \frac{2(x-2)}{x-2} - \frac{12}{x-2} = 2 - \frac{12}{x-2}$

Таким образом, мы получили функцию $y = -\frac{12}{x-2} + 2$.

График этой функции можно получить из графика $y = \frac{12}{x}$ в несколько шагов:

1. Сначала строим график $y = \frac{12}{x}$.
2. Затем отражаем его симметрично относительно оси $Ox$ (или $Oy$), чтобы получить график функции $y = -\frac{12}{x}$. Ветви этой гиперболы будут находиться во II и IV координатных четвертях.
3. Далее сдвигаем полученный график на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$, чтобы получить график функции $y = -\frac{12}{x-2}$.
4. И, наконец, сдвигаем последний график на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$, чтобы получить итоговый график функции $y = -\frac{12}{x-2} + 2$.

Новые асимптоты:

• Вертикальная асимптота: $x=2$.
• Горизонтальная асимптота: $y=2$.

Ответ: График функции $y = \frac{2x-16}{x-2}$ получается из графика $y = \frac{12}{x}$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс, сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс и на 2 единицы вверх вдоль оси ординат.