Номер 82, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

82. На рисунке 12 изображён график функции $y = f(x)$.

Постройте график функции:

1) $y = f(x) + 3$;

2) $y = f(x + 1)$;

3) $y = -1 - f(x)$.

Рис. 12

а

б

Для графика на рисунке 12 а:

1) $y = f(x) + 3$

Чтобы построить график функции $y = f(x) + 3$, необходимо график исходной функции $y = f(x)$ перенести параллельно на 3 единицы вверх вдоль оси ординат $Oy$. Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика преобразуется в точку $(x_0, y_0 + 3)$. Например, характерные точки графика преобразуются следующим образом: точка $(0, 0)$ перейдет в точку $(0, 3)$, а точка $(-1, -1)$ перейдет в точку $(-1, 2)$.

Ответ: График исходной функции $y=f(x)$ сдвигается на 3 единицы вверх вдоль оси ординат.

2) $y = f(x + 1)$

Чтобы построить график функции $y = f(x+1)$, необходимо график исходной функции $y = f(x)$ перенести параллельно на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс $Ox$. Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика преобразуется в точку $(x_0 - 1, y_0)$. Например, точка $(0, 0)$ перейдет в точку $(-1, 0)$, а точка $(-1, -1)$ перейдет в точку $(-2, -1)$.

Ответ: График исходной функции $y=f(x)$ сдвигается на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс.

3) $y = -1 - f(x)$

Построение графика функции $y = -1 - f(x)$ выполняется в два этапа. Сначала необходимо построить график функции $y = -f(x)$, который получается из графика $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс $Ox$. Затем полученный график нужно сдвинуть на 1 единицу вниз вдоль оси ординат $Oy$. Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика преобразуется в точку $(x_0, -y_0 - 1)$. Например, точка $(0, 0)$ сначала отразится в себя, а потом сдвинется в точку $(0, -1)$. Точка $(-1, -1)$ сначала отразится в точку $(-1, 1)$, а потом сдвинется в точку $(-1, 0)$.

Ответ: График исходной функции $y=f(x)$ отражается симметрично относительно оси абсцисс, а затем сдвигается на 1 единицу вниз вдоль оси ординат.

Для графика на рисунке 12 б:

1) $y = f(x) + 3$

Чтобы построить график функции $y = f(x) + 3$, необходимо график исходной функции $y = f(x)$ перенести параллельно на 3 единицы вверх вдоль оси ординат $Oy$. Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика преобразуется в точку $(x_0, y_0 + 3)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ сместится вверх и станет $y=3$. Вертикальная асимптота $x=0$ останется без изменений. Например, точка $(2, 1)$ перейдет в точку $(2, 4)$, а точка $(1, 4)$ перейдет в точку $(1, 7)$.

Ответ: График исходной функции $y=f(x)$ сдвигается на 3 единицы вверх вдоль оси ординат. Горизонтальная асимптота смещается и становится прямой $y=3$.

2) $y = f(x + 1)$

Чтобы построить график функции $y = f(x+1)$, необходимо график исходной функции $y = f(x)$ перенести параллельно на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс $Ox$. Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика преобразуется в точку $(x_0 - 1, y_0)$. Вертикальная асимптота $x=0$ сместится влево и станет $x=-1$. Горизонтальная асимптота $y=0$ останется без изменений. Например, точка $(2, 1)$ перейдет в точку $(1, 1)$, а точка $(1, 4)$ перейдет в точку $(0, 4)$.

Ответ: График исходной функции $y=f(x)$ сдвигается на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс. Вертикальная асимптота смещается и становится прямой $x=-1$.

3) $y = -1 - f(x)$

Построение графика функции $y = -1 - f(x)$ выполняется в два этапа. Сначала строим график $y = -f(x)$, который получается из графика $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс $Ox$. Ветви графика, уходящие в $+\infty$ вблизи оси $Oy$, будут уходить в $-\infty$. Затем полученный график сдвигаем на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$. Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика преобразуется в точку $(x_0, -y_0 - 1)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ сначала отразится сама в себя, а затем сдвинется вниз и станет $y=-1$. Вертикальная асимптота $x=0$ останется без изменений. Например, точка $(2, 1)$ перейдет в точку $(2, -2)$, а точка $(1, 4)$ перейдет в точку $(1, -5)$.

Ответ: График исходной функции $y=f(x)$ отражается симметрично относительно оси абсцисс, а затем сдвигается на 1 единицу вниз вдоль оси ординат. Горизонтальная асимптота смещается и становится прямой $y=-1$.