Номер 75, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

75. Найдите нули функции:

1) $f(x) = 0,4x + 2;$

2) $f(x) = 4x^2 - 5x + 1;$

3) $f(x) = \sqrt{x+4};$

4) $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x-1};$

5) $f(x) = \sqrt{16-x^2};$

6) $f(x) = \sqrt{x^2+3};$

7) $f(x) = (x+1)\sqrt{x}.$

1) Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю. Чтобы найти нули функции $f(x) = 0,4x + 2$, необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.
$0,4x + 2 = 0$
Перенесем 2 в правую часть уравнения:
$0,4x = -2$
Разделим обе части на 0,4:
$x = \frac{-2}{0,4} = -5$
Ответ: -5.

2) Приравняем функцию $f(x) = 4x^2 - 5x + 1$ к нулю, чтобы найти ее нули. Получим квадратное уравнение:
$4x^2 - 5x + 1 = 0$
Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}; 1$.

3) Чтобы найти нули функции $f(x) = \sqrt{x + 4}$, решим уравнение $\sqrt{x + 4} = 0$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$
Теперь решим уравнение. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x + 4})^2 = 0^2$
$x + 4 = 0$
$x = -4$
Полученное значение $x = -4$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -4.

4) Чтобы найти нули функции $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1}$, нужно приравнять ее к нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.
1. Найдем ОДЗ: знаменатель не может быть равен нулю.
$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$
2. Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 3x + 2 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
3. Сравним полученные корни с ОДЗ. Корень $x_1 = 1$ не входит в ОДЗ, поэтому он не является нулем функции. Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет ОДЗ.
Таким образом, у функции один нуль.
Ответ: 2.

5) Чтобы найти нули функции $f(x) = \sqrt{16 - x^2}$, решим уравнение $\sqrt{16 - x^2} = 0$.
Найдем ОДЗ: $16 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 16 \implies -4 \le x \le 4$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$16 - x^2 = 0$
$x^2 = 16$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$
Оба корня принадлежат ОДЗ.
Ответ: -4; 4.

6) Чтобы найти нули функции $f(x) = \sqrt{x^2 + 3}$, решим уравнение $\sqrt{x^2 + 3} = 0$.
Найдем ОДЗ: $x^2 + 3 \ge 0$. Так как $x^2$ всегда неотрицательно, $x^2 + 3$ всегда больше или равно 3. Следовательно, ОДЗ — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x^2 + 3 = 0$
$x^2 = -3$
Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, у функции нет нулей.
Ответ: нулей нет.

7) Чтобы найти нули функции $f(x) = (x + 1)\sqrt{x}$, решим уравнение $(x + 1)\sqrt{x} = 0$.
Найдем ОДЗ: $x \ge 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
1. $x + 1 = 0 \implies x = -1$. Это значение не входит в ОДЗ, так как $-1 < 0$.
2. $\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$. Это значение входит в ОДЗ.
Следовательно, функция имеет единственный нуль.
Ответ: 0.