Номер 119, страница 93 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

119. Найдите целые решения системы неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 + 3x - 18 < 0 \\ x \geq -2 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4x^2 - 6x \leq 0 \\ 0,8x - 0,2 > 0 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + 4x - 32 \leq 0 \\ -8,5 \leq x \leq 0,3 \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + (\sqrt{6} - 4)x - 4\sqrt{6} \leq 0 \\ -x^2 + 0,5x + 5 \geq 0 \end{cases}$

Рассмотрим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 + 3x - 18 < 0, \\ x \ge -2. \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство $x^2 + 3x - 18 < 0$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 3x - 18 = 0$. Используя теорему Виета, получаем, что сумма корней $x_1 + x_2 = -3$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -18$. Отсюда корни равны $x_1 = -6$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 + 3x - 18$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $x^2 + 3x - 18 < 0$ выполняется для значений $x$, находящихся между корнями. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-6; 3)$.

Второе неравенство системы $x \ge -2$ определяет промежуток $x \in [-2; +\infty)$.

Для нахождения решения системы найдем пересечение полученных промежутков: $(-6; 3) \cap [-2; +\infty)$. Пересечением является промежуток $[-2; 3)$.

Требуется найти целые решения. Целые числа, принадлежащие промежутку $[-2; 3)$, это: -2, -1, 0, 1, 2.

Ответ: -2, -1, 0, 1, 2.

Рассмотрим систему неравенств: $\begin{cases} 4x^2 - 6x \le 0, \\ 0,8x - 0,2 > 0. \end{cases}$

Решим первое неравенство $4x^2 - 6x \le 0$. Вынесем общий множитель $2x$ за скобки: $2x(2x - 3) \le 0$. Корнями уравнения $2x(2x - 3) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ветви параболы $y = 4x^2 - 6x$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни. Решение первого неравенства: $x \in [0; 1,5]$.

Решим второе неравенство $0,8x - 0,2 > 0$. Перенесем $-0,2$ в правую часть: $0,8x > 0,2$. Разделим обе части на 0,8: $x > \frac{0,2}{0,8}$, что равносильно $x > \frac{2}{8}$ или $x > \frac{1}{4}$ ($x > 0,25$). Решение второго неравенства: $x \in (0,25; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $[0; 1,5] \cap (0,25; +\infty)$. Пересечением является промежуток $(0,25; 1,5]$.

Единственное целое число, которое принадлежит этому промежутку, — это 1.

Ответ: 1.

Рассмотрим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 + 4x - 32 \le 0, \\ -8,5 \le x \le 0,3. \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 + 4x - 32 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 32 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -4$ и $x_1 \cdot x_2 = -32$. Корни равны $x_1 = -8$ и $x_2 = 4$.

Ветви параболы $y = x^2 + 4x - 32$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-8; 4]$.

Второе неравенство уже задает промежуток для $x$: $x \in [-8,5; 0,3]$.

Найдем пересечение этих двух промежутков: $[-8; 4] \cap [-8,5; 0,3]$. Общим решением является промежуток $[-8; 0,3]$.

Выберем целые числа из этого промежутка: -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0.

Ответ: -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0.

Рассмотрим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 + (\sqrt{6} - 4)x - 4\sqrt{6} \le 0, \\ -x^2 + 0,5x + 5 \ge 0. \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 + (\sqrt{6} - 4)x - 4\sqrt{6} \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + (\sqrt{6} - 4)x - 4\sqrt{6} = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -(\sqrt{6} - 4) = 4 - \sqrt{6}$ и $x_1 \cdot x_2 = -4\sqrt{6}$. Можно подобрать корни: $x_1 = -\sqrt{6}$ и $x_2 = 4$.

Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства находится между корнями: $x \in [-\sqrt{6}; 4]$. Поскольку $2 < \sqrt{6} < 3$, то $-\sqrt{6} \approx -2,45$. Таким образом, $x \in [\approx -2,45; 4]$.

Решим второе неравенство $-x^2 + 0,5x + 5 \ge 0$. Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный: $x^2 - 0,5x - 5 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 0,5x - 5 = 0$ с помощью дискриминанта: $D = (-0,5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 0,25 + 20 = 20,25 = 4,5^2$.

Корни равны: $x_1 = \frac{0,5 - 4,5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{0,5 + 4,5}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$.

Ветви параболы $y = x^2 - 0,5x - 5$ направлены вверх, поэтому решение неравенства $x^2 - 0,5x - 5 \le 0$ есть промежуток $x \in [-2; 2,5]$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $[-\sqrt{6}; 4] \cap [-2; 2,5]$. Так как $-\sqrt{6} \approx -2,45$, что меньше -2, то пересечением будет промежуток $[-2; 2,5]$.

Целые числа, принадлежащие этому промежутку: -2, -1, 0, 1, 2.

Ответ: -2, -1, 0, 1, 2.