Номер 118, страница 93 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

118. Решите систему неравенств:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

1)

Решим первое неравенство системы: $x^2 + x - 12 \le 0$.
Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 12 = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 - 7}{2} = -4$; $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = 3$.
Так как ветви параболы $y = x^2 + x - 12$ направлены вверх, решение неравенства $x^2 + x - 12 \le 0$ есть промежуток между корнями: $x \in [-4, 3]$.

Второе неравенство системы $x > 2$ имеет решение $x \in (2, +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $[-4, 3] \cap (2, +\infty)$.
Пересечением является промежуток $(2, 3]$.

Ответ: $(2, 3]$.

2)

Решим первое неравенство системы: $5x^2 - 16x + 3 > 0$.
Найдем корни уравнения $5x^2 - 16x + 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 256 - 60 = 196 = 14^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{16 - 14}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$; $x_2 = \frac{16 + 14}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3$.
Ветви параболы $y = 5x^2 - 16x + 3$ направлены вверх, поэтому неравенство $5x^2 - 16x + 3 > 0$ выполняется на промежутках вне корней: $x \in (-\infty, 1/5) \cup (3, +\infty)$.

Второе неравенство системы $x \le 7$ имеет решение $x \in (-\infty, 7]$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty, 1/5) \cup (3, +\infty)) \cap (-\infty, 7]$.
Пересечением является объединение промежутков $(-\infty, 1/5) \cup (3, 7]$.

Ответ: $(-\infty, 1/5) \cup (3, 7]$.

3)

Решим первое неравенство системы: $10x^2 - 9x + 2 \le 0$.
Найдем корни уравнения $10x^2 - 9x + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 2 = 81 - 80 = 1$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{9 - 1}{2 \cdot 10} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$; $x_2 = \frac{9 + 1}{2 \cdot 10} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.
Ветви параболы $y = 10x^2 - 9x + 2$ направлены вверх, поэтому решение неравенства $10x^2 - 9x + 2 \le 0$ есть промежуток $[2/5, 1/2]$.

Решим второе неравенство системы: $14 - 2x \le 0$.
$-2x \le -14$
$x \ge 7$
Решением является промежуток $[7, +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $[2/5, 1/2] \cap [7, +\infty)$.
Эти промежутки не пересекаются.

Ответ: $\emptyset$.

4)

Решим первое неравенство системы: $x^2 + x - 20 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + x - 20 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 4$.
Ветви параболы $y = x^2 + x - 20$ направлены вверх, поэтому решение неравенства есть промежуток $[-5, 4]$.

Решим второе неравенство системы: $2x + 10 \le 0$.
$2x \le -10$
$x \le -5$
Решением является промежуток $(-\infty, -5]$.

Найдем пересечение решений: $[-5, 4] \cap (-\infty, -5]$.
Пересечением является единственная точка $x = -5$.

Ответ: $\{-5\}$.

5)

Решим первое неравенство системы: $x^2 - 2x - 80 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 80 = 0$.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324 = 18^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{2 - 18}{2} = -8$; $x_2 = \frac{2 + 18}{2} = 10$.
Решение неравенства: $x \in [-8, 10]$.

Решим второе неравенство системы: $x^2 - 2x - 24 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 24 = 0$.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 = 10^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{2 - 10}{2} = -4$; $x_2 = \frac{2 + 10}{2} = 6$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty, -4) \cup (6, +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $[-8, 10] \cap ((-\infty, -4) \cup (6, +\infty))$.
Пересечение с промежутком $(-\infty, -4)$ дает $[-8, -4)$.
Пересечение с промежутком $(6, +\infty)$ дает $(6, 10]$.
Объединив эти результаты, получим итоговое решение.

Ответ: $[-8, -4) \cup (6, 10]$.

6)

Решим первое неравенство системы: $2x^2 + 11x - 6 \le 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 + 11x - 6 = 0$.
Дискриминант $D = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 121 + 48 = 169 = 13^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-11 - 13}{4} = -6$; $x_2 = \frac{-11 + 13}{4} = \frac{1}{2}$.
Решение неравенства: $x \in [-6, 1/2]$.

Решим второе неравенство системы: $x^2 + 8x \le 0$.
Разложим на множители: $x(x+8) \le 0$.
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -8$.
Решение неравенства: $x \in [-8, 0]$.

Найдем пересечение решений: $[-6, 1/2] \cap [-8, 0]$.
Пересечением является промежуток $[-6, 0]$.

Ответ: $[-6, 0]$.