Страница 73 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

234. Геометрическая прогрессия $(b_n)$ задана формулой $n$-го члена $b_n = 0,4 \cdot 3^{n-1}$. Найдите сумму пяти первых её членов.

Геометрическая прогрессия $(b_n)$ задана формулой n-го члена $b_n = 0,4 \cdot 3^{n-1}$. Требуется найти сумму пяти первых её членов, то есть $S_5$.

Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии имеет вид:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Сначала определим $b_1$ и $q$ из заданной формулы $b_n = 0,4 \cdot 3^{n-1}$.

1. Найдём первый член прогрессии $b_1$, подставив $n=1$ в формулу:

$b_1 = 0,4 \cdot 3^{1-1} = 0,4 \cdot 3^0 = 0,4 \cdot 1 = 0,4$

2. Найдём знаменатель прогрессии $q$. Сравнивая общую формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ с нашей формулой $b_n = 0,4 \cdot 3^{n-1}$, видим, что знаменатель $q = 3$.

3. Вычислим сумму первых пяти членов $S_5$, подставив в формулу суммы значения $n=5$, $b_1=0,4$ и $q=3$:

$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{0,4 \cdot (3^5 - 1)}{3 - 1}$

Проведём вычисления по шагам:

Сначала вычислим $3^5$:

$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$

Теперь подставим это значение в формулу суммы:

$S_5 = \frac{0,4 \cdot (243 - 1)}{3 - 1} = \frac{0,4 \cdot 242}{2}$

Выполним деление и умножение:

$S_5 = 0,4 \cdot 121 = 48,4$

Таким образом, сумма пяти первых членов данной геометрической прогрессии равна 48,4.

Ответ: 48,4

235. Найдите первый член геометрической прогрессии, если её знаменатель равен $\frac{1}{4}$, а сумма четырёх первых членов равна 765.

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии ($b_1$) воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

По условию задачи нам даны: знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{4}$, сумма первых четырёх членов $S_4 = 765$ и число членов $n = 4$.

Подставим известные значения в формулу:

$765 = \frac{b_1(1 - (\frac{1}{4})^4)}{1 - \frac{1}{4}}$

Решим это уравнение относительно $b_1$. Сначала упростим правую часть.

Вычислим знаменатель дроби:

$1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Вычислим выражение в скобках в числителе:

$1 - (\frac{1}{4})^4 = 1 - \frac{1}{256} = \frac{255}{256}$

Подставим полученные значения обратно в уравнение:

$765 = \frac{b_1 \cdot \frac{255}{256}}{\frac{3}{4}}$

Выразим $b_1$, для чего преобразуем "трехэтажную" дробь:

$765 = b_1 \cdot \frac{255}{256} \cdot \frac{4}{3}$

Сократим дробь в правой части:

$\frac{255}{256} \cdot \frac{4}{3} = \frac{85 \cdot 3}{64 \cdot 4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{85}{64}$

Теперь уравнение имеет вид:

$765 = b_1 \cdot \frac{85}{64}$

Отсюда находим $b_1$:

$b_1 = \frac{765 \cdot 64}{85}$

Учитывая, что $765 \div 85 = 9$, получаем:

$b_1 = 9 \cdot 64 = 576$

Ответ: 576

236. Найдите количество членов конечной геометрической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 = -8$, знаменатель $q=3$, а сумма всех членов $S_n = -2912$.

Для нахождения количества членов конечной геометрической прогрессии ($n$) используется формула суммы первых $n$ членов:

$S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$

По условию задачи нам даны:

первый член прогрессии $a_1 = -8$,

знаменатель прогрессии $q = 3$,

сумма всех членов прогрессии $S_n = -2912$.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти $n$:

$-2912 = \frac{-8(3^n - 1)}{3 - 1}$

Сначала упростим знаменатель дроби:

$-2912 = \frac{-8(3^n - 1)}{2}$

Теперь выполним деление в правой части уравнения:

$-2912 = -4(3^n - 1)$

Разделим обе части уравнения на -4:

$\frac{-2912}{-4} = 3^n - 1$

$728 = 3^n - 1$

Перенесём -1 в левую часть уравнения, изменив знак:

$728 + 1 = 3^n$

$729 = 3^n$

Чтобы найти $n$, необходимо определить, в какую степень нужно возвести число 3, чтобы получить 729. Известно, что $3^6 = 729$.

$3^n = 3^6$

Отсюда следует, что $n = 6$.

Таким образом, в данной геометрической прогрессии 6 членов.

Ответ: 6.

237. Разность четвёртого и второго членов геометрической прогрессии равна 30, а разность четвёртого и третьего членов равна 24. Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.

Пусть $b_n$ - искомая геометрическая прогрессия, где $b_1$ - её первый член, а $q$ - знаменатель.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Исходя из условия задачи, составим систему уравнений:

1. Разность четвёртого и второго членов равна 30: $b_4 - b_2 = 30$.

2. Разность четвёртого и третьего членов равна 24: $b_4 - b_3 = 24$.

Перепишем систему, используя формулу n-го члена:

$\begin{cases} b_1q^3 - b_1q = 30 \\ b_1q^3 - b_1q^2 = 24 \end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки:

$\begin{cases} b_1q(q^2 - 1) = 30 \\ b_1q^2(q - 1) = 24 \end{cases}$

Разделим первое уравнение на второе. Это возможно, так как из условия $b_4 - b_3 = 24 \neq 0$ следует, что $b_1 \neq 0$, $q \neq 0$ и $q \neq 1$.

$\frac{b_1q(q^2 - 1)}{b_1q^2(q - 1)} = \frac{30}{24}$

Применим формулу разности квадратов $q^2 - 1 = (q - 1)(q + 1)$ и сократим дробь:

$\frac{b_1q(q - 1)(q + 1)}{b_1q^2(q - 1)} = \frac{5}{4}$

$\frac{q + 1}{q} = \frac{5}{4}$

Решим полученное уравнение, используя свойство пропорции:

$4(q + 1) = 5q$

$4q + 4 = 5q$

$q = 4$

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q=4$ в любое из уравнений системы. Воспользуемся вторым уравнением $b_1q^2(q - 1) = 24$:

$b_1 \cdot 4^2(4 - 1) = 24$

$b_1 \cdot 16 \cdot 3 = 24$

$48b_1 = 24$

$b_1 = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$

Для нахождения суммы пяти первых членов прогрессии $S_5$ воспользуемся формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим наши значения $b_1 = \frac{1}{2}$, $q = 4$ и $n = 5$:

$S_5 = \frac{\frac{1}{2}(4^5 - 1)}{4 - 1} = \frac{\frac{1}{2}(1024 - 1)}{3} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 1023}{3} = \frac{1023}{6}$

$S_5 = 170.5$

Ответ: $170.5$

238. Найдите первый член, знаменатель и количество членов конечной геометрической прогрессии $(z_n)$, если $z_5 - z_3 = 36$, $z_4 + z_3 = 36$, а сумма всех членов $S_n = 381$.

Для решения задачи нам нужно найти первый член $z_1$, знаменатель $q$ и количество членов $n$ конечной геометрической прогрессии $(z_n)$.

Нам даны следующие условия:

$z_5 - z_3 = 36$

$z_4 + z_3 = 36$

$S_n = 381$

Первый член

Чтобы найти первый член $z_1$, сначала найдем знаменатель $q$. Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $z_n = z_1 \cdot q^{n-1}$ и преобразуем данную нам систему уравнений:

$\begin{cases} z_1 q^4 - z_1 q^2 = 36 \\ z_1 q^3 + z_1 q^2 = 36 \end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки:

$\begin{cases} z_1 q^2 (q^2 - 1) = 36 \\ z_1 q^2 (q + 1) = 36 \end{cases}$

Так как правые части обоих уравнений равны 36, мы можем приравнять их левые части:

$z_1 q^2 (q^2 - 1) = z_1 q^2 (q + 1)$

Поскольку правая часть уравнений не равна нулю ($36 \neq 0$), то и левая часть не может быть равна нулю, а значит $z_1 \neq 0$ и $q \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части равенства на $z_1 q^2$:

$q^2 - 1 = q + 1$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное квадратное уравнение:

$q^2 - q - 2 = 0$

Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $q_1 = 2$ и $q_2 = -1$.

Проверим, подходят ли оба корня. Подставим $q = -1$ во второе уравнение системы $z_1 q^2 (q + 1) = 36$:

$z_1 (-1)^2 (-1 + 1) = z_1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$

Получили $0 = 36$, что является неверным равенством. Значит, корень $q = -1$ не подходит.

Остается единственное верное значение знаменателя: $q = 2$.

Теперь, зная знаменатель, мы можем найти первый член $z_1$. Подставим $q=2$ в любое из уравнений системы, например, во второе:

$z_1 \cdot 2^2 (2 + 1) = 36$

$z_1 \cdot 4 \cdot 3 = 36$

$12z_1 = 36$

$z_1 = \frac{36}{12} = 3$

Ответ: $z_1 = 3$.

Знаменатель

Знаменатель прогрессии $q$ был найден в ходе решения системы уравнений в предыдущем пункте. После проверки корней квадратного уравнения было установлено, что единственным подходящим значением является $q=2$.

Ответ: $q = 2$.

Количество членов

Для нахождения количества членов $n$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{z_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Нам известны все необходимые значения: $S_n = 381$, $z_1 = 3$ и $q = 2$. Подставим их в формулу:

$381 = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1}$

$381 = \frac{3(2^n - 1)}{1}$

$381 = 3(2^n - 1)$

Разделим обе части уравнения на 3:

$127 = 2^n - 1$

Перенесем -1 в левую часть:

$128 = 2^n$

Чтобы найти $n$, нужно определить, в какую степень следует возвести число 2, чтобы получить 128. Так как $2^7 = 128$, то $n=7$.

Ответ: $n = 7$.

239. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) 80; 30; 11,25; ...;

2) 10, $2\sqrt{5}$, 2, ... .

1) Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии $(b_n)$ находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — это первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель, при условии что $|q| < 1$.
В данной прогрессии первый член $b_1 = 80$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{30}{80} = \frac{3}{8}$.
Проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$:
$|q| = |\frac{3}{8}| = \frac{3}{8}$. Так как $3 < 8$, то $\frac{3}{8} < 1$. Условие выполняется, следовательно, сумму найти можно.
Теперь подставим найденные значения $b_1$ и $q$ в формулу суммы:
$S = \frac{80}{1 - \frac{3}{8}} = \frac{80}{\frac{8}{8} - \frac{3}{8}} = \frac{80}{\frac{5}{8}} = 80 \cdot \frac{8}{5} = \frac{80 \cdot 8}{5} = 16 \cdot 8 = 128$.
Ответ: 128.

2) Для данной прогрессии первый член $b_1 = 10$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2\sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
Проверим условие $|q| < 1$:
$|q| = |\frac{\sqrt{5}}{5}| = \frac{\sqrt{5}}{5}$. Поскольку $5 < 25$, то $\sqrt{5} < \sqrt{25} = 5$, а значит $\frac{\sqrt{5}}{5} < 1$. Условие выполняется.
Вычислим сумму прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{10}{1 - \frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{10}{\frac{5 - \sqrt{5}}{5}} = \frac{10 \cdot 5}{5 - \sqrt{5}} = \frac{50}{5 - \sqrt{5}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(5 + \sqrt{5})$:
$S = \frac{50(5 + \sqrt{5})}{(5 - \sqrt{5})(5 + \sqrt{5})} = \frac{50(5 + \sqrt{5})}{5^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{50(5 + \sqrt{5})}{25 - 5} = \frac{50(5 + \sqrt{5})}{20}$.
Сократим дробь на 10:
$S = \frac{5(5 + \sqrt{5})}{2} = \frac{25 + 5\sqrt{5}}{2}$.
Ответ: $\frac{25 + 5\sqrt{5}}{2}$.

240. Запишите в виде обыкновенной дроби число:

1) $0,888...$;

2) $6,(24)$;

3) $0,6444...$;

4) $5,1(6)$.

Для преобразования периодической десятичной дроби в обыкновенную используется следующий алгоритм:

1. Обозначаем исходное число переменной, например, $x$.
2. Умножаем $x$ на $10^k$, где $k$ — количество цифр в периоде.
3. Вычитаем из полученного уравнения исходное. В результате в правой части разности исчезнет периодическая часть.
4. Решаем полученное линейное уравнение относительно $x$.

Для смешанных периодических дробей (когда есть цифры после запятой, но до периода) алгоритм немного усложняется: сначала число умножается на $10^m$, чтобы перенести непериодическую часть в целую часть, а затем применяется вышеописанный метод.

1) 0,888...

Это чистая периодическая дробь, которую можно записать как $0,(8)$. Период состоит из одной цифры.

Пусть $x = 0,888...$

Умножим обе части уравнения на 10 (так как в периоде одна цифра):

$10x = 8,888...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$10x - x = 8,888... - 0,888...$

$9x = 8$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{8}{9}$

Ответ: $\frac{8}{9}$

2) 6,(24)

Это смешанное число с чистой периодической дробной частью $6,242424...$ . Период состоит из двух цифр (24).

Пусть $x = 6,242424...$

Умножим обе части уравнения на 100 (так как в периоде две цифры):

$100x = 624,242424...$

Вычтем из нового уравнения исходное:

$100x - x = 624,242424... - 6,242424...$

$99x = 618$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{618}{99}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$x = \frac{618 \div 3}{99 \div 3} = \frac{206}{33}$

Ответ: $\frac{206}{33}$

3) 0,6444...

Это смешанная периодическая дробь, которую можно записать как $0,6(4)$. Между запятой и периодом одна цифра.

Пусть $x = 0,6444...$

Умножим обе части уравнения на 10, чтобы часть до периода стала целой:

$10x = 6,444...$

Теперь умножим исходное уравнение на 100:

$100x = 64,444...$

Вычтем из второго полученного уравнения первое:

$100x - 10x = 64,444... - 6,444...$

$90x = 58$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{58}{90}$

Сократим дробь на 2:

$x = \frac{58 \div 2}{90 \div 2} = \frac{29}{45}$

Ответ: $\frac{29}{45}$

4) 5,1(6)

Это смешанная периодическая дробь, $5,1666...$ .

Пусть $x = 5,1666...$

Умножим обе части на 10, чтобы отделить непериодическую дробную часть:

$10x = 51,666...$

Теперь умножим исходное уравнение на 100:

$100x = 516,666...$

Вычтем из второго полученного уравнения первое:

$100x - 10x = 516,666... - 51,666...$

$90x = 465$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{465}{90}$

Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 15 (сначала на 5, потом на 3):

$x = \frac{465 \div 15}{90 \div 15} = \frac{31}{6}$

Ответ: $\frac{31}{6}$

241. Найдите первый член бесконечной геометрической прогрессии, сумма которой равна 18, а знаменатель $\frac{2}{9}$.

Для нахождения первого члена бесконечной геометрической прогрессии ($b_1$) используется формула ее суммы ($S$):

$S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

По условию задачи, сумма прогрессии $S = 18$, а знаменатель $q = \frac{2}{9}$.

Подставим известные значения в формулу:

$18 = \frac{b_1}{1 - \frac{2}{9}}$

Сначала упростим знаменатель в правой части уравнения:

$1 - \frac{2}{9} = \frac{9}{9} - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$

Теперь уравнение выглядит так:

$18 = \frac{b_1}{\frac{7}{9}}$

Чтобы найти $b_1$, умножим обе части уравнения на $\frac{7}{9}$:

$b_1 = 18 \cdot \frac{7}{9}$

Выполним вычисление:

$b_1 = \frac{18 \cdot 7}{9} = 2 \cdot 7 = 14$

Следовательно, первый член прогрессии равен 14.

Ответ: 14

242. Найдите четвёртый член бесконечной геометрической прогрессии, первый член которой равен -54, а сумма равна -81.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $S$ — её сумма.

Из условия задачи известно, что:

Первый член прогрессии $b_1 = -54$.

Сумма прогрессии $S = -81$.

Требуется найти четвёртый член прогрессии $b_4$.

Формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии ($|q| < 1$) имеет вид:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти знаменатель прогрессии $q$:

$-81 = \frac{-54}{1 - q}$

Отсюда выразим знаменатель дроби $(1 - q)$:

$1 - q = \frac{-54}{-81} = \frac{54}{81}$

Сократим полученную дробь на 27:

$1 - q = \frac{2}{3}$

Теперь найдём $q$:

$q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Условие $|q| < 1$ выполняется, так как $|\frac{1}{3}| < 1$.

Теперь, зная первый член $b_1$ и знаменатель $q$, мы можем найти любой член прогрессии по формуле n-го члена:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Найдём четвёртый член прогрессии ($n=4$):

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Подставим значения $b_1 = -54$ и $q = \frac{1}{3}$:

$b_4 = -54 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 = -54 \cdot \frac{1}{27}$

$b_4 = -\frac{54}{27} = -2$

Ответ: -2

243. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_4 = 48$, $b_6 = 12$.

Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии $S$ используется формула:

$S = \frac{b_1}{1-q}$

где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула применима только при условии $|q| < 1$.

Нам даны четвертый и шестой члены прогрессии: $b_4 = 48$ и $b_6 = 12$.

Связь между членами геометрической прогрессии можно выразить формулой $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$. Воспользуемся ею, чтобы найти знаменатель $q$:

$b_6 = b_4 \cdot q^{6-4} = b_4 \cdot q^2$

Подставим известные значения в это соотношение:

$12 = 48 \cdot q^2$

Выразим $q^2$:

$q^2 = \frac{12}{48} = \frac{1}{4}$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для знаменателя $q$:

$q_1 = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

$q_2 = -\sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2}$

Оба значения удовлетворяют условию $|q| < 1$, поэтому задача имеет два решения. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $q = \frac{1}{2}$

Найдем первый член прогрессии $b_1$, используя формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=4$:

$b_4 = b_1 \cdot q^3$

$48 = b_1 \cdot (\frac{1}{2})^3$

$48 = b_1 \cdot \frac{1}{8}$

$b_1 = 48 \cdot 8 = 384$

Теперь найдем сумму прогрессии:

$S_1 = \frac{b_1}{1-q} = \frac{384}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{384}{\frac{1}{2}} = 384 \cdot 2 = 768$

Случай 2: $q = -\frac{1}{2}$

Аналогично найдем первый член $b_1$ для этого значения $q$:

$b_4 = b_1 \cdot q^3$

$48 = b_1 \cdot (-\frac{1}{2})^3$

$48 = b_1 \cdot (-\frac{1}{8})$

$b_1 = 48 \cdot (-8) = -384$

Найдем сумму для этого случая:

$S_2 = \frac{b_1}{1-q} = \frac{-384}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{-384}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-384}{\frac{3}{2}} = -384 \cdot \frac{2}{3} = -128 \cdot 2 = -256$

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две прогрессии, суммы которых равны 768 и -256.

Ответ: 768 или -256.

244. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 162, а сумма четырёх её первых членов равна 160. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Обозначим первый член бесконечной геометрической прогрессии как $b_1$, а её знаменатель как $q$.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$, при условии, что $|q| < 1$. Согласно условию задачи, $S = 162$.

Отсюда получаем первое уравнение:

$162 = \frac{b_1}{1 - q}$ (1)

Сумма первых четырёх членов прогрессии $S_4$ вычисляется по формуле $S_4 = \frac{b_1(1 - q^4)}{1 - q}$. По условию задачи, $S_4 = 160$.

Это дает нам второе уравнение:

$160 = \frac{b_1(1 - q^4)}{1 - q}$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Заметим, что правую часть второго уравнения можно представить через сумму всей прогрессии $S$:

$160 = \left(\frac{b_1}{1 - q}\right) \cdot (1 - q^4)$

Подставим значение $\frac{b_1}{1 - q}$ из первого уравнения (1) в это выражение:

$160 = 162 \cdot (1 - q^4)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $q$:

$1 - q^4 = \frac{160}{162}$

$1 - q^4 = \frac{80}{81}$

$q^4 = 1 - \frac{80}{81}$

$q^4 = \frac{1}{81}$

Из этого уравнения находим два возможных значения для знаменателя $q$:

$q = \sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \frac{1}{3}$ и $q = -\sqrt[4]{\frac{1}{81}} = -\frac{1}{3}$.

Оба значения удовлетворяют условию сходимости прогрессии $|q| < 1$. Теперь найдем соответствующий первый член $b_1$ для каждого из этих значений $q$, используя уравнение (1) в виде $b_1 = 162(1 - q)$.

1. Если $q = \frac{1}{3}$, то:

$b_1 = 162 \cdot \left(1 - \frac{1}{3}\right) = 162 \cdot \frac{2}{3} = 54 \cdot 2 = 108$.

2. Если $q = -\frac{1}{3}$, то:

$b_1 = 162 \cdot \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)\right) = 162 \cdot \left(1 + \frac{1}{3}\right) = 162 \cdot \frac{4}{3} = 54 \cdot 4 = 216$.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: первый член равен 108 и знаменатель равен $\frac{1}{3}$, или первый член равен 216 и знаменатель равен $-\frac{1}{3}$.