Номер 238, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

238. Найдите первый член, знаменатель и количество членов конечной геометрической прогрессии $(z_n)$, если $z_5 - z_3 = 36$, $z_4 + z_3 = 36$, а сумма всех членов $S_n = 381$.

Для решения задачи нам нужно найти первый член $z_1$, знаменатель $q$ и количество членов $n$ конечной геометрической прогрессии $(z_n)$.

Нам даны следующие условия:

$z_5 - z_3 = 36$

$z_4 + z_3 = 36$

$S_n = 381$

Первый член

Чтобы найти первый член $z_1$, сначала найдем знаменатель $q$. Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $z_n = z_1 \cdot q^{n-1}$ и преобразуем данную нам систему уравнений:

$\begin{cases} z_1 q^4 - z_1 q^2 = 36 \\ z_1 q^3 + z_1 q^2 = 36 \end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки:

$\begin{cases} z_1 q^2 (q^2 - 1) = 36 \\ z_1 q^2 (q + 1) = 36 \end{cases}$

Так как правые части обоих уравнений равны 36, мы можем приравнять их левые части:

$z_1 q^2 (q^2 - 1) = z_1 q^2 (q + 1)$

Поскольку правая часть уравнений не равна нулю ($36 \neq 0$), то и левая часть не может быть равна нулю, а значит $z_1 \neq 0$ и $q \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части равенства на $z_1 q^2$:

$q^2 - 1 = q + 1$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное квадратное уравнение:

$q^2 - q - 2 = 0$

Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $q_1 = 2$ и $q_2 = -1$.

Проверим, подходят ли оба корня. Подставим $q = -1$ во второе уравнение системы $z_1 q^2 (q + 1) = 36$:

$z_1 (-1)^2 (-1 + 1) = z_1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$

Получили $0 = 36$, что является неверным равенством. Значит, корень $q = -1$ не подходит.

Остается единственное верное значение знаменателя: $q = 2$.

Теперь, зная знаменатель, мы можем найти первый член $z_1$. Подставим $q=2$ в любое из уравнений системы, например, во второе:

$z_1 \cdot 2^2 (2 + 1) = 36$

$z_1 \cdot 4 \cdot 3 = 36$

$12z_1 = 36$

$z_1 = \frac{36}{12} = 3$

Ответ: $z_1 = 3$.

Знаменатель

Знаменатель прогрессии $q$ был найден в ходе решения системы уравнений в предыдущем пункте. После проверки корней квадратного уравнения было установлено, что единственным подходящим значением является $q=2$.

Ответ: $q = 2$.

Количество членов

Для нахождения количества членов $n$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{z_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Нам известны все необходимые значения: $S_n = 381$, $z_1 = 3$ и $q = 2$. Подставим их в формулу:

$381 = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1}$

$381 = \frac{3(2^n - 1)}{1}$

$381 = 3(2^n - 1)$

Разделим обе части уравнения на 3:

$127 = 2^n - 1$

Перенесем -1 в левую часть:

$128 = 2^n$

Чтобы найти $n$, нужно определить, в какую степень следует возвести число 2, чтобы получить 128. Так как $2^7 = 128$, то $n=7$.

Ответ: $n = 7$.