Номер 240, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

240. Запишите в виде обыкновенной дроби число:

1) $0,888...$;

2) $6,(24)$;

3) $0,6444...$;

4) $5,1(6)$.

Для преобразования периодической десятичной дроби в обыкновенную используется следующий алгоритм:

1. Обозначаем исходное число переменной, например, $x$.
2. Умножаем $x$ на $10^k$, где $k$ — количество цифр в периоде.
3. Вычитаем из полученного уравнения исходное. В результате в правой части разности исчезнет периодическая часть.
4. Решаем полученное линейное уравнение относительно $x$.

Для смешанных периодических дробей (когда есть цифры после запятой, но до периода) алгоритм немного усложняется: сначала число умножается на $10^m$, чтобы перенести непериодическую часть в целую часть, а затем применяется вышеописанный метод.

1) 0,888...

Это чистая периодическая дробь, которую можно записать как $0,(8)$. Период состоит из одной цифры.

Пусть $x = 0,888...$

Умножим обе части уравнения на 10 (так как в периоде одна цифра):

$10x = 8,888...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$10x - x = 8,888... - 0,888...$

$9x = 8$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{8}{9}$

Ответ: $\frac{8}{9}$

2) 6,(24)

Это смешанное число с чистой периодической дробной частью $6,242424...$ . Период состоит из двух цифр (24).

Пусть $x = 6,242424...$

Умножим обе части уравнения на 100 (так как в периоде две цифры):

$100x = 624,242424...$

Вычтем из нового уравнения исходное:

$100x - x = 624,242424... - 6,242424...$

$99x = 618$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{618}{99}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$x = \frac{618 \div 3}{99 \div 3} = \frac{206}{33}$

Ответ: $\frac{206}{33}$

3) 0,6444...

Это смешанная периодическая дробь, которую можно записать как $0,6(4)$. Между запятой и периодом одна цифра.

Пусть $x = 0,6444...$

Умножим обе части уравнения на 10, чтобы часть до периода стала целой:

$10x = 6,444...$

Теперь умножим исходное уравнение на 100:

$100x = 64,444...$

Вычтем из второго полученного уравнения первое:

$100x - 10x = 64,444... - 6,444...$

$90x = 58$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{58}{90}$

Сократим дробь на 2:

$x = \frac{58 \div 2}{90 \div 2} = \frac{29}{45}$

Ответ: $\frac{29}{45}$

4) 5,1(6)

Это смешанная периодическая дробь, $5,1666...$ .

Пусть $x = 5,1666...$

Умножим обе части на 10, чтобы отделить непериодическую дробную часть:

$10x = 51,666...$

Теперь умножим исходное уравнение на 100:

$100x = 516,666...$

Вычтем из второго полученного уравнения первое:

$100x - 10x = 516,666... - 51,666...$

$90x = 465$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{465}{90}$

Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 15 (сначала на 5, потом на 3):

$x = \frac{465 \div 15}{90 \div 15} = \frac{31}{6}$

Ответ: $\frac{31}{6}$