Номер 244, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

244. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 162, а сумма четырёх её первых членов равна 160. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Обозначим первый член бесконечной геометрической прогрессии как $b_1$, а её знаменатель как $q$.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$, при условии, что $|q| < 1$. Согласно условию задачи, $S = 162$.

Отсюда получаем первое уравнение:

$162 = \frac{b_1}{1 - q}$ (1)

Сумма первых четырёх членов прогрессии $S_4$ вычисляется по формуле $S_4 = \frac{b_1(1 - q^4)}{1 - q}$. По условию задачи, $S_4 = 160$.

Это дает нам второе уравнение:

$160 = \frac{b_1(1 - q^4)}{1 - q}$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Заметим, что правую часть второго уравнения можно представить через сумму всей прогрессии $S$:

$160 = \left(\frac{b_1}{1 - q}\right) \cdot (1 - q^4)$

Подставим значение $\frac{b_1}{1 - q}$ из первого уравнения (1) в это выражение:

$160 = 162 \cdot (1 - q^4)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $q$:

$1 - q^4 = \frac{160}{162}$

$1 - q^4 = \frac{80}{81}$

$q^4 = 1 - \frac{80}{81}$

$q^4 = \frac{1}{81}$

Из этого уравнения находим два возможных значения для знаменателя $q$:

$q = \sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \frac{1}{3}$ и $q = -\sqrt[4]{\frac{1}{81}} = -\frac{1}{3}$.

Оба значения удовлетворяют условию сходимости прогрессии $|q| < 1$. Теперь найдем соответствующий первый член $b_1$ для каждого из этих значений $q$, используя уравнение (1) в виде $b_1 = 162(1 - q)$.

1. Если $q = \frac{1}{3}$, то:

$b_1 = 162 \cdot \left(1 - \frac{1}{3}\right) = 162 \cdot \frac{2}{3} = 54 \cdot 2 = 108$.

2. Если $q = -\frac{1}{3}$, то:

$b_1 = 162 \cdot \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)\right) = 162 \cdot \left(1 + \frac{1}{3}\right) = 162 \cdot \frac{4}{3} = 54 \cdot 4 = 216$.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: первый член равен 108 и знаменатель равен $\frac{1}{3}$, или первый член равен 216 и знаменатель равен $-\frac{1}{3}$.