Номер 4, страница 74 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Докажите неравенство:

1) $a^2 - 10a + 26 > 0;$

2) $6y - 9y^2 - 2 < 0;$

3) $a(a - 2) > 6(a - 3);$

4) $x^2 - 4x + y^2 + 2y + 5 \ge 0;$

5) $x^2 - 4xy + 5y^2 + 2y + 2 > 0;$

6) $\frac{a^2 + 3}{\sqrt{a^2 + 2}} \ge 2.$

1) Докажем неравенство $a^2 - 10a + 26 > 0$.
Для доказательства выделим полный квадрат. Формула полного квадрата: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Представим выражение $a^2 - 10a$ как начало полного квадрата: $a^2 - 2 \cdot a \cdot 5$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $5^2 = 25$.
$a^2 - 10a + 26 = (a^2 - 10a + 25) - 25 + 26 = (a-5)^2 + 1$.
Выражение $(a-5)^2$ является квадратом числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(a-5)^2 \ge 0$ для любого значения $a$.
Следовательно, $(a-5)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.
Так как $1 > 0$, то и $(a-5)^2 + 1 > 0$. Таким образом, неравенство $a^2 - 10a + 26 > 0$ верно для всех действительных $a$.
Ответ: Неравенство доказано.

2) Докажем неравенство $6y - 9y^2 - 2 < 0$.
Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный: $-(6y - 9y^2 - 2) > 0 \cdot (-1)$, что равносильно $9y^2 - 6y + 2 > 0$.
Теперь докажем это новое неравенство, выделив полный квадрат. $9y^2 - 6y + 2 = (3y)^2 - 2 \cdot (3y) \cdot 1 + 1^2 - 1^2 + 2 = ((3y)^2 - 6y + 1) + 1 = (3y-1)^2 + 1$.
Выражение $(3y-1)^2$ всегда неотрицательно: $(3y-1)^2 \ge 0$.
Тогда $(3y-1)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.
Так как $1 > 0$, то неравенство $9y^2 - 6y + 2 > 0$ верно, а значит и исходное неравенство $6y - 9y^2 - 2 < 0$ также верно для всех действительных $y$.
Ответ: Неравенство доказано.

3) Докажем неравенство $a(a-2) > 6(a-3)$.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства: $a^2 - 2a > 6a - 18$.
Перенесем все члены в левую часть: $a^2 - 2a - 6a + 18 > 0$.
Приведем подобные слагаемые: $a^2 - 8a + 18 > 0$.
Выделим полный квадрат в левой части: $a^2 - 8a + 18 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 16) - 16 + 18 = (a-4)^2 + 2$.
Так как $(a-4)^2 \ge 0$ для любого $a$, то $(a-4)^2 + 2 \ge 0 + 2 = 2$.
Поскольку $2 > 0$, то и $(a-4)^2 + 2 > 0$. Следовательно, исходное неравенство верно.
Ответ: Неравенство доказано.

4) Докажем неравенство $x^2 - 4x + y^2 + 2y + 5 \ge 0$.
Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$ и выделим полные квадраты для каждой переменной. $(x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) + 5 \ge 0$.
Для $x$: $x^2 - 4x = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x-2)^2 - 4$.
Для $y$: $y^2 + 2y = (y^2 + 2y + 1) - 1 = (y+1)^2 - 1$.
Подставим полученные выражения в неравенство: $((x-2)^2 - 4) + ((y+1)^2 - 1) + 5 \ge 0$.
$(x-2)^2 + (y+1)^2 - 4 - 1 + 5 \ge 0$.
$(x-2)^2 + (y+1)^2 \ge 0$.
Это неравенство верно, так как $(x-2)^2 \ge 0$ и $(y+1)^2 \ge 0$, а сумма двух неотрицательных чисел всегда неотрицательна.
Ответ: Неравенство доказано.

5) Докажем неравенство $x^2 - 4xy + 5y^2 + 2y + 2 > 0$.
Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат. Заметим, что $x^2 - 4xy$ может быть частью квадрата $(x-2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$.
Представим $5y^2$ как $4y^2 + y^2$: $(x^2 - 4xy + 4y^2) + y^2 + 2y + 2 > 0$.
Первые три члена образуют полный квадрат: $(x-2y)^2 + y^2 + 2y + 2 > 0$.
Теперь выделим полный квадрат для оставшихся членов с $y$: $(x-2y)^2 + (y^2 + 2y + 1) + 1 > 0$.
$(x-2y)^2 + (y+1)^2 + 1 > 0$.
Выражение $(x-2y)^2 \ge 0$ и $(y+1)^2 \ge 0$. Их сумма также неотрицательна. $(x-2y)^2 + (y+1)^2 + 1 \ge 0 + 0 + 1 = 1$.
Так как $1 > 0$, то неравенство верно.
Ответ: Неравенство доказано.

6) Докажем неравенство $\frac{a^2 + 3}{\sqrt{a^2 + 2}} \ge 2$.
Область определения неравенства – все действительные числа $a$, так как подкоренное выражение $a^2 + 2$ всегда положительно ($a^2 \ge 0 \implies a^2+2 \ge 2$). Знаменатель всегда положителен. Числитель $a^2+3$ также всегда положителен.
Так как обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства: $(\frac{a^2 + 3}{\sqrt{a^2 + 2}})^2 \ge 2^2$.
$\frac{(a^2 + 3)^2}{a^2 + 2} \ge 4$.
Умножим обе части на положительный знаменатель $a^2 + 2$: $(a^2 + 3)^2 \ge 4(a^2 + 2)$.
Раскроем скобки: $a^4 + 6a^2 + 9 \ge 4a^2 + 8$.
Перенесем все члены в левую часть: $a^4 + 6a^2 - 4a^2 + 9 - 8 \ge 0$.
$a^4 + 2a^2 + 1 \ge 0$.
Левая часть является полным квадратом: $(a^2 + 1)^2 \ge 0$.
Это неравенство верно для любого действительного $a$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Все преобразования были равносильными, следовательно, исходное неравенство также верно.
Ответ: Неравенство доказано.