Номер 11, страница 75 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

11. Верно ли утверждение:

1) если $a > 4$ и $b > 8$, то $a+b > 12$;

2) если $a > 4$ и $b > 8$, то $a+b > 11$;

3) если $a > 4$ и $b > 8$, то $a+b > 13$;

4) если $a > 4$ и $b > 8$, то $ab > 32$;

5) если $a > 4$ и $b > 8$, то $a-b > -4$;

6) если $a > 4$ и $b > 8$, то $ab > 30$;

7) если $a > 4$ и $b > 8$, то $2a+3b > 32$;

8) если $a > 4$ и $b < 8$, то $a-b > -4$;

9) если $a < 4$ и $b < 8$, то $ab < 32$;

10) если $0 < a < 4$ и $0 < b < 8$, то $ab < 32$;

11) если $a > 4$, то $a^2 > 16$;

12) если $a < 4$, то $a^2 < 16$;

13) если $a > 4$, то $\frac{1}{a} < \frac{1}{4}$;

14) если $a < 4$, то $\frac{1}{a} > \frac{1}{4}$?

1) если a > 4 и b > 8, то a + b > 12;

Сложим два верных неравенства: $a > 4$ и $b > 8$. Так как знаки неравенств одинаковы, мы можем их сложить почленно.

$a + b > 4 + 8$

$a + b > 12$

Утверждение верно.

Ответ: Верно.

2) если a > 4 и b > 8, то a + b > 11;

Из предыдущего пункта мы знаем, что если $a > 4$ и $b > 8$, то $a + b > 12$. Любое число, которое больше 12, автоматически больше 11. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Верно.

3) если a > 4 и b > 8, то a + b > 13;

Это утверждение не всегда верно. Приведем контрпример. Пусть $a = 4.1$ (что больше 4) и $b = 8.1$ (что больше 8). Тогда их сумма $a + b = 4.1 + 8.1 = 12.2$. Неравенство $12.2 > 13$ неверно. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

4) если a > 4 и b > 8, то ab > 32;

Так как $a > 4$ и $b > 8$, обе переменные, а также обе части неравенств положительны. Мы можем перемножить эти неравенства.

$a \cdot b > 4 \cdot 8$

$ab > 32$

Утверждение верно.

Ответ: Верно.

5) если a > 4 и b > 8, то a - b > -4;

Это утверждение не всегда верно. Приведем контрпример. Пусть $a = 5$ (что больше 4) и $b = 10$ (что больше 8). Тогда их разность $a - b = 5 - 10 = -5$. Неравенство $-5 > -4$ неверно. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

6) если a > 4 и b > 8, то ab > 30;

Из пункта 4 мы знаем, что если $a > 4$ и $b > 8$, то $ab > 32$. Любое число, которое больше 32, автоматически больше 30. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Верно.

7) если a > 4 и b > 8, то 2a + 3b > 32;

Умножим неравенство $a > 4$ на положительное число 2: $2a > 8$.

Умножим неравенство $b > 8$ на положительное число 3: $3b > 24$.

Сложим полученные неравенства:

$2a + 3b > 8 + 24$

$2a + 3b > 32$

Утверждение верно.

Ответ: Верно.

8) если a > 4 и b < 8, то a - b > -4;

Имеем два неравенства: $a > 4$ и $b < 8$. Умножим второе неравенство на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-b > -8$.

Теперь сложим неравенства $a > 4$ и $-b > -8$:

$a + (-b) > 4 + (-8)$

$a - b > -4$

Утверждение верно.

Ответ: Верно.

9) если a < 4 и b < 8, то ab < 32;

Это утверждение не всегда верно, так как переменные $a$ и $b$ могут быть отрицательными. Приведем контрпример. Пусть $a = -5$ (что меньше 4) и $b = -10$ (что меньше 8). Тогда их произведение $ab = (-5) \cdot (-10) = 50$. Неравенство $50 < 32$ неверно. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

10) если 0 < a < 4 и 0 < b < 8, то ab < 32;

В данном случае $a$ и $b$ — положительные числа. Мы можем перемножить неравенства $a < 4$ и $b < 8$.

$a \cdot b < 4 \cdot 8$

$ab < 32$

Утверждение верно.

Ответ: Верно.

11) если a > 4, то a² > 16;

Так как $a > 4$, то $a$ — положительное число. Мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, не меняя знака неравенства.

$a^2 > 4^2$

$a^2 > 16$

Утверждение верно.

Ответ: Верно.

12) если a < 4, то a² < 16;

Это утверждение не всегда верно, так как $a$ может быть отрицательным числом. Приведем контрпример. Пусть $a = -5$ (что меньше 4). Тогда $a^2 = (-5)^2 = 25$. Неравенство $25 < 16$ неверно. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

13) если a > 4, то 1/a < 1/4;

Так как $a > 4$, то $a$ и 4 являются положительными числами. При делении 1 на обе части неравенства (или взятии обратной величины) знак неравенства меняется на противоположный.

$\frac{1}{a} < \frac{1}{4}$

Утверждение верно.

Ответ: Верно.

14) если a < 4, то 1/a > 1/4?

Это утверждение не всегда верно. Условие $a < 4$ допускает отрицательные значения $a$, а также $a=0$.

Рассмотрим контрпример. Пусть $a = -2$ (что меньше 4). Тогда $\frac{1}{a} = -\frac{1}{2}$. Неравенство $-\frac{1}{2} > \frac{1}{4}$ неверно, так как отрицательное число не может быть больше положительного. Также, если $a=0$, выражение $\frac{1}{a}$ не определено. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Неверно.