Номер 239, страница 73 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

239. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) 80; 30; 11,25; ...;

2) 10, $2\sqrt{5}$, 2, ... .

1) Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии $(b_n)$ находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — это первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель, при условии что $|q| < 1$.
В данной прогрессии первый член $b_1 = 80$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{30}{80} = \frac{3}{8}$.
Проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$:
$|q| = |\frac{3}{8}| = \frac{3}{8}$. Так как $3 < 8$, то $\frac{3}{8} < 1$. Условие выполняется, следовательно, сумму найти можно.
Теперь подставим найденные значения $b_1$ и $q$ в формулу суммы:
$S = \frac{80}{1 - \frac{3}{8}} = \frac{80}{\frac{8}{8} - \frac{3}{8}} = \frac{80}{\frac{5}{8}} = 80 \cdot \frac{8}{5} = \frac{80 \cdot 8}{5} = 16 \cdot 8 = 128$.
Ответ: 128.

2) Для данной прогрессии первый член $b_1 = 10$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2\sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
Проверим условие $|q| < 1$:
$|q| = |\frac{\sqrt{5}}{5}| = \frac{\sqrt{5}}{5}$. Поскольку $5 < 25$, то $\sqrt{5} < \sqrt{25} = 5$, а значит $\frac{\sqrt{5}}{5} < 1$. Условие выполняется.
Вычислим сумму прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{10}{1 - \frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{10}{\frac{5 - \sqrt{5}}{5}} = \frac{10 \cdot 5}{5 - \sqrt{5}} = \frac{50}{5 - \sqrt{5}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(5 + \sqrt{5})$:
$S = \frac{50(5 + \sqrt{5})}{(5 - \sqrt{5})(5 + \sqrt{5})} = \frac{50(5 + \sqrt{5})}{5^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{50(5 + \sqrt{5})}{25 - 5} = \frac{50(5 + \sqrt{5})}{20}$.
Сократим дробь на 10:
$S = \frac{5(5 + \sqrt{5})}{2} = \frac{25 + 5\sqrt{5}}{2}$.
Ответ: $\frac{25 + 5\sqrt{5}}{2}$.