Страница 71 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

214. Найдите первый и шестой члены арифметической прогрессии, если её разность равна 0,6, а сумма десяти её первых членов равна 39.

Нахождение первого члена ($a_1$)

По условию задачи даны разность арифметической прогрессии $d = 0,6$ и сумма десяти её первых членов $S_{10} = 39$.
Для нахождения первого члена ($a_1$) воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$
Подставим в эту формулу известные значения: $n=10$, $S_{10}=39$, $d=0,6$.
$39 = \frac{2a_1 + (10-1) \cdot 0,6}{2} \cdot 10$
Теперь решим полученное уравнение относительно $a_1$:
$39 = (2a_1 + 9 \cdot 0,6) \cdot 5$
$39 = (2a_1 + 5,4) \cdot 5$
$39 = 10a_1 + 27$
$10a_1 = 39 - 27$
$10a_1 = 12$
$a_1 = \frac{12}{10} = 1,2$

Ответ: первый член прогрессии равен 1,2.

Нахождение шестого члена ($a_6$)

Для нахождения шестого члена ($a_6$) воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
Подставим в формулу известные значения: $n=6$, $a_1=1,2$ и $d=0,6$.
$a_6 = 1,2 + (6-1) \cdot 0,6$
$a_6 = 1,2 + 5 \cdot 0,6$
$a_6 = 1,2 + 3$
$a_6 = 4,2$

Ответ: шестой член прогрессии равен 4,2.

215. Первый член арифметической прогрессии равен 12, а разность равна -2. Сколько надо взять первых членов прогрессии, чтобы их сумма была равной -264?

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, $d$ — её разность, $n$ — количество членов, а $S_n$ — сумма первых $n$ членов.

По условию задачи нам дано:
$a_1 = 12$
$d = -2$
$S_n = -264$

Требуется найти $n$.

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии имеет вид:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим известные значения в эту формулу:
$-264 = \frac{2 \cdot 12 + (-2)(n-1)}{2} \cdot n$

Упростим выражение в числителе дроби:
$-264 = \frac{24 - 2n + 2}{2} \cdot n$
$-264 = \frac{26 - 2n}{2} \cdot n$

Разделим выражение в скобках на 2:
$-264 = (13 - n) \cdot n$

Теперь раскроем скобки и получим квадратное уравнение относительно $n$:
$-264 = 13n - n^2$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$n^2 - 13n - 264 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-264) = 169 + 1056 = 1225$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:
$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{1225}}{2 \cdot 1} = \frac{13 \pm 35}{2}$
$n_1 = \frac{13 + 35}{2} = \frac{48}{2} = 24$
$n_2 = \frac{13 - 35}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

Так как количество членов прогрессии $n$ должно быть натуральным числом, корень $n_2 = -11$ не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, нужно взять 24 первых члена прогрессии.

Ответ: 24.

216. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с седьмого по двадцать шестой включительно, если первый член прогрессии равен 39, а разность прогрессии равна -2.

По условию задачи нам дана арифметическая прогрессия, у которой первый член $a_1 = 39$, а разность прогрессии $d = -2$.

Нам необходимо найти сумму членов прогрессии с седьмого по двадцать шестой включительно. Обозначим эту сумму как $S_{7-26}$.

Для нахождения этой суммы мы можем использовать формулу суммы членов арифметической прогрессии:

$S = \frac{a_m + a_n}{2} \cdot k$

где $a_m$ — первый член суммируемого диапазона, $a_n$ — последний член, а $k$ — количество членов в этом диапазоне.

В нашем случае $m=7$, $n=26$.

1. Найдем седьмой член прогрессии ($a_7$) по формуле n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$a_7 = a_1 + (7-1)d = 39 + 6 \cdot (-2) = 39 - 12 = 27$

2. Найдем двадцать шестой член прогрессии ($a_{26}$):

$a_{26} = a_1 + (26-1)d = 39 + 25 \cdot (-2) = 39 - 50 = -11$

3. Найдем количество членов в искомой сумме (с 7-го по 26-й включительно):

$k = 26 - 7 + 1 = 20$

4. Теперь подставим найденные значения в формулу суммы:

$S_{7-26} = \frac{a_7 + a_{26}}{2} \cdot k = \frac{27 + (-11)}{2} \cdot 20 = \frac{16}{2} \cdot 20 = 8 \cdot 20 = 160$

Таким образом, сумма членов арифметической прогрессии с седьмого по двадцать шестой включительно равна 160.

Ответ: 160

217. Найдите сумму членов арифметической прогрессии ($b_n$) с девятого по двадцать третий включительно, если $b_1 = 9$ и $b_{17} = 65$.

Для решения задачи нам нужно найти сумму членов арифметической прогрессии $(b_n)$ с 9-го по 23-й включительно. Нам даны значения первого члена $b_1 = 9$ и семнадцатого члена $b_{17} = 65$.

Решение можно разбить на три шага:

1. Нахождение разности арифметической прогрессии

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 + (n-1)d$, где $d$ — разность прогрессии.

Мы можем использовать эту формулу для семнадцатого члена, чтобы найти $d$:

$b_{17} = b_1 + (17-1)d$

Подставим известные значения $b_1 = 9$ и $b_{17} = 65$ в формулу:

$65 = 9 + 16d$

Теперь решим это уравнение относительно $d$:

$16d = 65 - 9$

$16d = 56$

$d = \frac{56}{16} = \frac{7}{2} = 3.5$

Итак, разность прогрессии равна 3.5.

2. Нахождение девятого и двадцать третьего членов прогрессии

Теперь, зная $b_1$ и $d$, мы можем найти любой член прогрессии. Нам понадобятся $b_9$ и $b_{23}$, так как это первый и последний члены в искомой сумме.

Найдем $b_9$:

$b_9 = b_1 + (9-1)d = 9 + 8d = 9 + 8 \cdot 3.5 = 9 + 28 = 37$

Найдем $b_{23}$:

$b_{23} = b_1 + (23-1)d = 9 + 22d = 9 + 22 \cdot 3.5 = 9 + 77 = 86$

3. Вычисление суммы членов с девятого по двадцать третий

Нам нужно найти сумму $S = b_9 + b_{10} + \dots + b_{23}$.

Эта сумма является суммой членов арифметической прогрессии, где первый член $a_1 = b_9 = 37$, а последний член $a_n = b_{23} = 86$.

Количество членов в этой сумме равно:

$n = 23 - 9 + 1 = 15$

Воспользуемся формулой суммы $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Подставим наши значения:

$S = \frac{(b_9 + b_{23}) \cdot n}{2} = \frac{(37 + 86) \cdot 15}{2}$

$S = \frac{123 \cdot 15}{2} = \frac{1845}{2} = 922.5$

Ответ: 922.5

218. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если сумма шести первых её членов равна -51, а сумма четырнадцати первых членов равна 49.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как $a_1$, а её разность как $d$.

Формула для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Согласно условию, сумма шести первых членов прогрессии равна -51. Подставим $n=6$ и $S_6 = -51$ в формулу:
$S_6 = \frac{2a_1 + d(6-1)}{2} \cdot 6 = -51$
$(2a_1 + 5d) \cdot 3 = -51$
Разделим обе части уравнения на 3:
$2a_1 + 5d = -17$

Также, по условию, сумма четырнадцати первых членов прогрессии равна 49. Подставим $n=14$ и $S_{14} = 49$ в формулу:
$S_{14} = \frac{2a_1 + d(14-1)}{2} \cdot 14 = 49$
$(2a_1 + 13d) \cdot 7 = 49$
Разделим обе части уравнения на 7:
$2a_1 + 13d = 7$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $d$:
$ \begin{cases} 2a_1 + 5d = -17 \\ 2a_1 + 13d = 7 \end{cases} $
Для решения системы вычтем первое уравнение из второго:
$(2a_1 + 13d) - (2a_1 + 5d) = 7 - (-17)$
$2a_1 + 13d - 2a_1 - 5d = 7 + 17$
$8d = 24$
$d = \frac{24}{8} = 3$

Теперь, когда мы нашли разность $d$, подставим её значение в любое из уравнений системы, чтобы найти первый член $a_1$. Возьмем первое уравнение:
$2a_1 + 5d = -17$
$2a_1 + 5 \cdot 3 = -17$
$2a_1 + 15 = -17$
$2a_1 = -17 - 15$
$2a_1 = -32$
$a_1 = \frac{-32}{2} = -16$

Ответ: первый член $a_1 = -16$, разность $d = 3$.

219. Решите уравнение:

1) $11 + 17 + 23 + \dots + (6n + 5) = 528$, где $n$ — натуральное число;

2) $2 + 5 + 8 + \dots + x = 126$, где $x$ — натуральное число.

1)

Левая часть уравнения представляет собой сумму членов арифметической прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = 11$.
Найдем разность прогрессии $d$:
$d = 17 - 11 = 6$.
Проверим для следующего члена: $23 - 17 = 6$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_k = a_1 + (k-1)d$.
В данном случае, если подставить $k=1$, $a_1 = 11$. Если подставить $k=2$, $a_2 = 11 + (2-1) \cdot 6 = 17$.
Последний член прогрессии равен $a_k = 6n + 5$. Найдем номер этого члена $k$.
$11 + (k-1) \cdot 6 = 6n + 5$
$11 + 6k - 6 = 6n + 5$
$6k + 5 = 6n + 5$
$6k = 6n$
$k = n$
Это означает, что в сумме ровно $n$ членов.
Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$
Подставим известные значения: $S_n = 528$, $a_1 = 11$, $a_n = 6n + 5$.
$528 = \frac{(11 + 6n + 5) \cdot n}{2}$
$528 = \frac{(16 + 6n) \cdot n}{2}$
$528 = (8 + 3n) \cdot n$
$528 = 8n + 3n^2$
Получаем квадратное уравнение:
$3n^2 + 8n - 528 = 0$
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-528) = 64 + 12 \cdot 528 = 64 + 6336 = 6400$
$\sqrt{D} = \sqrt{6400} = 80$
Найдем корни уравнения:
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 80}{2 \cdot 3} = \frac{72}{6} = 12$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 80}{2 \cdot 3} = \frac{-88}{6} = -\frac{44}{3}$
По условию задачи $n$ — натуральное число, поэтому корень $n_2 = -44/3$ не подходит.
Следовательно, $n = 12$.
Ответ: $12$

2)

Левая часть уравнения также является суммой членов арифметической прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = 2$.
Разность прогрессии $d = 5 - 2 = 3$.
Последний член прогрессии $a_n = x$.
Сумма прогрессии $S_n = 126$.
Выразим $n$-й член прогрессии $x$ через номер члена $n$:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
$x = 2 + (n-1) \cdot 3 = 2 + 3n - 3 = 3n - 1$
Теперь используем формулу суммы арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$
Подставим известные значения и выражение для $x$:
$126 = \frac{(2 + x) \cdot n}{2}$
$252 = (2 + x) \cdot n$
Подставим в это уравнение выражение $x = 3n - 1$:
$252 = (2 + (3n - 1)) \cdot n$
$252 = (3n + 1) \cdot n$
$252 = 3n^2 + n$
Получаем квадратное уравнение:
$3n^2 + n - 252 = 0$
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-252) = 1 + 12 \cdot 252 = 1 + 3024 = 3025$
$\sqrt{D} = \sqrt{3025} = 55$
Найдем корни уравнения:
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 55}{2 \cdot 3} = \frac{54}{6} = 9$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 55}{2 \cdot 3} = \frac{-56}{6} = -\frac{28}{3}$
Количество членов прогрессии $n$ должно быть натуральным числом, поэтому подходит только $n_1 = 9$.
Теперь найдем $x$, подставив значение $n$ в формулу для $x$:
$x = 3n - 1 = 3 \cdot 9 - 1 = 27 - 1 = 26$
По условию $x$ — натуральное число, $26$ является натуральным числом.
Ответ: $26$

220. Найдите четыре первых члена геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_1 = 20$, а знаменатель $q = 0,2$.

Для нахождения членов геометрической прогрессии $(b_n)$ необходимо знать ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$. Каждый последующий член прогрессии можно найти, умножив предыдущий член на знаменатель. Формула для n-го члена выглядит так: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

В данной задаче нам известны:

Первый член прогрессии: $b_1 = 20$

Знаменатель прогрессии: $q = 0,2$

Требуется найти первые четыре члена прогрессии: $b_1, b_2, b_3, b_4$.

Находим b_1:

Первый член уже дан по условию: $b_1 = 20$.

Находим b_2:

Второй член равен первому, умноженному на знаменатель:
$b_2 = b_1 \cdot q = 20 \cdot 0,2 = 4$.

Находим b_3:

Третий член равен второму, умноженному на знаменатель:
$b_3 = b_2 \cdot q = 4 \cdot 0,2 = 0,8$.

Находим b_4:

Четвертый член равен третьему, умноженному на знаменатель:
$b_4 = b_3 \cdot q = 0,8 \cdot 0,2 = 0,16$.

Таким образом, первые четыре члена геометрической прогрессии - это 20; 4; 0,8; 0,16.

Ответ: 20; 4; 0,8; 0,16.

221. Первый член геометрической прогрессии $b_1 = -\frac{1}{27}$, а знаменатель $q = -3$. Найдите:

1) $b_4$;

2) $b_8$.

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — ее знаменатель, а $n$ — порядковый номер члена.

В данной задаче нам известны первый член $b_1 = -\frac{1}{27}$ и знаменатель $q = -3$.

1) $b_4$;

Для нахождения четвертого члена прогрессии ($n=4$) подставим известные значения в формулу:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$
$b_4 = -\frac{1}{27} \cdot (-3)^3$
Сначала вычислим $(-3)^3$:
$(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot (-3) = -27$
Теперь найдем $b_4$:
$b_4 = -\frac{1}{27} \cdot (-27) = 1$
Ответ: 1.

2) $b_8$.

Для нахождения восьмого члена прогрессии ($n=8$) снова воспользуемся формулой:
$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1} = b_1 \cdot q^7$
Подставим известные значения:
$b_8 = -\frac{1}{27} \cdot (-3)^7$
Представим число $27$ как степень тройки: $27 = 3^3$. Тогда $b_1 = -\frac{1}{3^3}$.
$b_8 = -\frac{1}{3^3} \cdot (-3)^7 = -\frac{1}{3^3} \cdot ((-1) \cdot 3)^7 = -\frac{1}{3^3} \cdot (-1)^7 \cdot 3^7$
Поскольку степень нечетная, $(-1)^7 = -1$.
$b_8 = -\frac{1}{3^3} \cdot (-1) \cdot 3^7 = \frac{1}{3^3} \cdot 3^7 = \frac{3^7}{3^3}$
Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:
$b_8 = 3^{7-3} = 3^4 = 81$
Ответ: 81.

222. Найдите знаменатель и шестой член геометрической прогрессии 72, 12, 2, ...

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, в которой первый член $b_1 = 72$, второй член $b_2 = 12$, третий член $b_3 = 2$.

Знаменатель

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ находится как отношение любого члена прогрессии к предыдущему. Воспользуемся первыми двумя членами:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{12}{72}$

Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на 12:

$q = \frac{1}{6}$

Для проверки можно использовать второй и третий члены:

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Результат совпадает, значит знаменатель найден верно.

Ответ: знаменатель прогрессии равен $\frac{1}{6}$.

Шестой член

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется формула:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Нам нужно найти шестой член ($n=6$). Подставим в формулу известные значения $b_1 = 72$ и $q = \frac{1}{6}$:

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = 72 \cdot (\frac{1}{6})^5$

Выполним вычисления:

$b_6 = 72 \cdot \frac{1^5}{6^5} = 72 \cdot \frac{1}{7776} = \frac{72}{7776}$

Теперь сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на 72:

$b_6 = \frac{72 \div 72}{7776 \div 72} = \frac{1}{108}$

Ответ: шестой член прогрессии равен $\frac{1}{108}$.

223. Найдите знаменатель геометрической прогрессии $(b_n)$, если:

1) $b_1 = 0,0001, b_8 = -1000;$

2) $b_4 = 4, b_6 = 8.$

1)

Формула n-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$ имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Для нахождения знаменателя $q$ воспользуемся данной формулой для восьмого члена прогрессии ($n=8$):

$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1} = b_1 \cdot q^7$

Подставим известные значения $b_1 = 0,0001$ и $b_8 = -1000$ в формулу:

$-1000 = 0,0001 \cdot q^7$

Выразим отсюда $q^7$:

$q^7 = \frac{-1000}{0,0001}$

Представим числа в виде степеней 10:

$0,0001 = 10^{-4}$

$-1000 = -10^3$

Тогда:

$q^7 = \frac{-10^3}{10^{-4}} = -10^3 \cdot 10^4 = -10^{3+4} = -10^7$

Из уравнения $q^7 = -10^7$ находим $q$:

$q = \sqrt[7]{-10^7} = -10$

Ответ: $-10$.

2)

Воспользуемся обобщенной формулой для n-го члена геометрической прогрессии, которая связывает любые два её члена $b_n$ и $b_m$:

$b_n = b_m \cdot q^{n-m}$

Применим эту формулу для $n=6$ и $m=4$:

$b_6 = b_4 \cdot q^{6-4} = b_4 \cdot q^2$

Подставим известные значения $b_4 = 4$ и $b_6 = 8$:

$8 = 4 \cdot q^2$

Выразим $q^2$:

$q^2 = \frac{8}{4}$

$q^2 = 2$

Из этого уравнения находим возможные значения для знаменателя $q$, извлекая квадратный корень из обеих частей:

$q = \sqrt{2}$ или $q = -\sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$ или $-\sqrt{2}$.

224. Найдите первый член геометрической прогрессии ($y_n$), знаменатель которой равен $q$, если:

1) $y_5 = \frac{3}{4}$, $q = -\frac{1}{4}$;

2) $y_3 = 4$, $y_6 = 500$.

1)

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии ($y_1$) воспользуемся формулой n-го члена: $y_n = y_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию нам даны пятый член прогрессии $y_5 = \frac{3}{4}$ и знаменатель $q = -\frac{1}{4}$.

Подставим эти значения в формулу для $n=5$:

$y_5 = y_1 \cdot q^{5-1} = y_1 \cdot q^4$

$\frac{3}{4} = y_1 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^4$

Сначала вычислим $q^4$:

$\left(-\frac{1}{4}\right)^4 = \frac{(-1)^4}{4^4} = \frac{1}{256}$

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

$\frac{3}{4} = y_1 \cdot \frac{1}{256}$

Чтобы найти $y_1$, умножим обе части уравнения на 256:

$y_1 = \frac{3}{4} \cdot 256 = 3 \cdot \frac{256}{4} = 3 \cdot 64 = 192$

Ответ: $192$.

2)

По условию даны третий и шестой члены прогрессии: $y_3 = 4$ и $y_6 = 500$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$. Воспользуемся формулой, связывающей два любых члена геометрической прогрессии: $y_m = y_k \cdot q^{m-k}$.

Подставим наши значения ($m=6, k=3$):

$y_6 = y_3 \cdot q^{6-3}$

$500 = 4 \cdot q^3$

Разделим обе части на 4, чтобы найти $q^3$:

$q^3 = \frac{500}{4} = 125$

Отсюда находим $q$, взяв кубический корень:

$q = \sqrt[3]{125} = 5$

Теперь, зная знаменатель $q$, мы можем найти первый член $y_1$, используя формулу n-го члена $y_n = y_1 \cdot q^{n-1}$. Возьмем $n=3$:

$y_3 = y_1 \cdot q^{3-1} = y_1 \cdot q^2$

Подставим известные значения $y_3 = 4$ и $q=5$:

$4 = y_1 \cdot 5^2$

$4 = y_1 \cdot 25$

Выразим $y_1$:

$y_1 = \frac{4}{25}$

Ответ: $\frac{4}{25}$.