Номер 218, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

218. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если сумма шести первых её членов равна -51, а сумма четырнадцати первых членов равна 49.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как $a_1$, а её разность как $d$.

Формула для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Согласно условию, сумма шести первых членов прогрессии равна -51. Подставим $n=6$ и $S_6 = -51$ в формулу:
$S_6 = \frac{2a_1 + d(6-1)}{2} \cdot 6 = -51$
$(2a_1 + 5d) \cdot 3 = -51$
Разделим обе части уравнения на 3:
$2a_1 + 5d = -17$

Также, по условию, сумма четырнадцати первых членов прогрессии равна 49. Подставим $n=14$ и $S_{14} = 49$ в формулу:
$S_{14} = \frac{2a_1 + d(14-1)}{2} \cdot 14 = 49$
$(2a_1 + 13d) \cdot 7 = 49$
Разделим обе части уравнения на 7:
$2a_1 + 13d = 7$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $d$:
$ \begin{cases} 2a_1 + 5d = -17 \\ 2a_1 + 13d = 7 \end{cases} $
Для решения системы вычтем первое уравнение из второго:
$(2a_1 + 13d) - (2a_1 + 5d) = 7 - (-17)$
$2a_1 + 13d - 2a_1 - 5d = 7 + 17$
$8d = 24$
$d = \frac{24}{8} = 3$

Теперь, когда мы нашли разность $d$, подставим её значение в любое из уравнений системы, чтобы найти первый член $a_1$. Возьмем первое уравнение:
$2a_1 + 5d = -17$
$2a_1 + 5 \cdot 3 = -17$
$2a_1 + 15 = -17$
$2a_1 = -17 - 15$
$2a_1 = -32$
$a_1 = \frac{-32}{2} = -16$

Ответ: первый член $a_1 = -16$, разность $d = 3$.