Номер 213, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

213. Найдите разность и шестнадцатый член арифметической прогрессии, первый член которой равен 8, а сумма двадцати двух первых членов равна 484.

По условию задачи дана арифметическая прогрессия. Обозначим ее первый член как $a_1$, разность как $d$, а сумму первых $n$ членов как $S_n$. Известно, что:
первый член $a_1 = 8$.
сумма двадцати двух первых членов $S_{22} = 484$.
Необходимо найти разность $d$ и шестнадцатый член $a_{16}$.

Разность

Для нахождения разности $d$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$ Подставим в эту формулу известные нам значения: $n=22$, $a_1=8$ и $S_{22}=484$. $484 = \frac{2 \cdot 8 + d(22-1)}{2} \cdot 22$ Упростим полученное уравнение: $484 = (16 + 21d) \cdot \frac{22}{2}$ $484 = (16 + 21d) \cdot 11$ Разделим обе части уравнения на 11: $\frac{484}{11} = 16 + 21d$ $44 = 16 + 21d$ Теперь выразим $21d$: $21d = 44 - 16$ $21d = 28$ Найдём $d$: $d = \frac{28}{21}$ Сократим дробь на 7: $d = \frac{4}{3}$
Ответ: $\frac{4}{3}$

Шестнадцатый член

Для нахождения шестнадцатого члена $a_{16}$ воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + d(n-1)$ Подставим в формулу известные значения $a_1 = 8$, $d = \frac{4}{3}$ и порядковый номер члена $n = 16$: $a_{16} = 8 + \frac{4}{3} \cdot (16-1)$ Выполним вычисления: $a_{16} = 8 + \frac{4}{3} \cdot 15$ $a_{16} = 8 + 4 \cdot \frac{15}{3}$ $a_{16} = 8 + 4 \cdot 5$ $a_{16} = 8 + 20$ $a_{16} = 28$
Ответ: 28