Номер 207, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

207. Найдите сумму восемнадцати первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_{11} - a_3 - a_8 = 27$ и $a_6 + a_{14} = 86$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Нам даны два условия:
1) $a_{11} - a_3 - a_8 = 27$
2) $a_6 + a_{14} = 86$

Сначала преобразуем первое уравнение, выразив его члены через $a_1$ и $d$:
$a_{11} = a_1 + (11-1)d = a_1 + 10d$
$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$
$a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$
Подставим эти выражения в уравнение:
$(a_1 + 10d) - (a_1 + 2d) - (a_1 + 7d) = 27$
$a_1 + 10d - a_1 - 2d - a_1 - 7d = 27$
Приведем подобные члены:
$-a_1 + d = 27$

Теперь преобразуем второе уравнение, также выразив его члены через $a_1$ и $d$:
$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$
$a_{14} = a_1 + (14-1)d = a_1 + 13d$
Подставим эти выражения в уравнение:
$(a_1 + 5d) + (a_1 + 13d) = 86$
$2a_1 + 18d = 86$
Разделим обе части уравнения на 2:
$a_1 + 9d = 43$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $d$:
$\begin{cases} -a_1 + d = 27 \\ a_1 + 9d = 43 \end{cases}$
Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $a_1$:
$(-a_1 + d) + (a_1 + 9d) = 27 + 43$
$10d = 70$
$d = 7$

Подставим найденное значение $d=7$ в первое уравнение системы, чтобы найти $a_1$:
$-a_1 + 7 = 27$
$-a_1 = 27 - 7$
$-a_1 = 20$
$a_1 = -20$

Теперь, зная первый член $a_1 = -20$ и разность $d = 7$, мы можем найти сумму первых восемнадцати членов прогрессии ($S_{18}$). Воспользуемся формулой суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.
Для $n = 18$:
$S_{18} = \frac{2 \cdot (-20) + (18-1) \cdot 7}{2} \cdot 18$
$S_{18} = (2 \cdot (-20) + 17 \cdot 7) \cdot 9$
$S_{18} = (-40 + 119) \cdot 9$
$S_{18} = 79 \cdot 9$
$S_{18} = 711$

Ответ: 711