Номер 205, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

205. Найдите сумму сорока первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

1) $a_1 = 19$, $a_{11} = -6$;

2) $a_7 = 6$, $a_{17} = 26$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — количество членов.

В данной задаче нам нужно найти $S_{40}$, то есть $n=40$. Для этого в каждом из случаев необходимо найти $a_1$ и $d$.

1) Дано: $a_1 = 19$, $a_{11} = -6$.

Первый член прогрессии $a_1$ нам уже известен. Найдем разность $d$, используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Для $n=11$ имеем:

$a_{11} = a_1 + (11-1)d$

Подставим известные значения:

$-6 = 19 + 10d$

$10d = -6 - 19$

$10d = -25$

$d = -2.5$

Теперь мы можем найти сумму первых сорока членов:

$S_{40} = \frac{2a_1 + (40-1)d}{2} \cdot 40 = (2a_1 + 39d) \cdot 20$

$S_{40} = (2 \cdot 19 + 39 \cdot (-2.5)) \cdot 20$

$S_{40} = (38 - 97.5) \cdot 20$

$S_{40} = -59.5 \cdot 20$

$S_{40} = -1190$

Ответ: -1190.

2) Дано: $a_7 = 6$, $a_{17} = 26$.

Сначала найдем разность прогрессии $d$ и первый член $a_1$. Составим систему уравнений, используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$\begin{cases} a_7 = a_1 + (7-1)d \\ a_{17} = a_1 + (17-1)d \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6 = a_1 + 6d \\ 26 = a_1 + 16d \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(a_1 + 16d) - (a_1 + 6d) = 26 - 6$

$10d = 20$

$d = 2$

Теперь подставим найденное значение $d$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:

$6 = a_1 + 6 \cdot 2$

$6 = a_1 + 12$

$a_1 = 6 - 12$

$a_1 = -6$

Теперь, зная $a_1 = -6$ и $d=2$, найдем сумму первых сорока членов:

$S_{40} = (2a_1 + 39d) \cdot 20$

$S_{40} = (2 \cdot (-6) + 39 \cdot 2) \cdot 20$

$S_{40} = (-12 + 78) \cdot 20$

$S_{40} = 66 \cdot 20$

$S_{40} = 1320$

Ответ: 1320.