Номер 201, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

201. При каком значении $b$ значения выражений $3b+1$, $4b-1$, $b^2+b$ и $b^2+b+1$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Для того чтобы данные выражения были последовательными членами арифметической прогрессии, разность между последующим и предыдущим членами должна быть постоянной. Обозначим эту разность как $d$.

Пусть: $a_1 = 3b + 1$ $a_2 = 4b - 1$ $a_3 = b^2 + b$ $a_4 = b^2 + b + 1$

Тогда должны выполняться следующие равенства: $d = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = a_4 - a_3$

Вычислим каждую разность:

1. $d = a_2 - a_1 = (4b - 1) - (3b + 1) = 4b - 1 - 3b - 1 = b - 2$

2. $d = a_3 - a_2 = (b^2 + b) - (4b - 1) = b^2 + b - 4b + 1 = b^2 - 3b + 1$

3. $d = a_4 - a_3 = (b^2 + b + 1) - (b^2 + b) = b^2 + b + 1 - b^2 - b = 1$

Из третьего уравнения мы видим, что разность арифметической прогрессии равна $d = 1$. Приравняем остальные выражения для разности к этому значению, чтобы найти $b$.

Из первого уравнения: $b - 2 = 1$ $b = 3$

Проверим это значение для второго уравнения: $b^2 - 3b + 1 = 1$ Подставим $b=3$: $3^2 - 3(3) + 1 = 9 - 9 + 1 = 1$ Равенство $1 = 1$ верно.

Таким образом, единственное значение $b$, при котором все три разности равны, это $b = 3$.

Теперь найдем сами члены прогрессии, подставив $b = 3$ в исходные выражения: $a_1 = 3(3) + 1 = 9 + 1 = 10$ $a_2 = 4(3) - 1 = 12 - 1 = 11$ $a_3 = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12$ $a_4 = 3^2 + 3 + 1 = 9 + 3 + 1 = 13$

Получаем последовательность 10, 11, 12, 13, которая действительно является арифметической прогрессией с разностью $d = 1$.

Ответ: при $b=3$ значения выражений образуют арифметическую прогрессию: 10, 11, 12, 13.