Номер 199, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

199. В арифметической прогрессии каждый член прогрессии умножили на 3. Будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией?

Пусть дана исходная арифметическая прогрессия $(a_n)$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$. По определению арифметической прогрессии, для любого натурального числа $n$ выполняется равенство: $a_{n+1} = a_n + d$. Это эквивалентно тому, что разность между соседними членами постоянна: $a_{n+1} - a_n = d$.

По условию задачи, каждый член этой прогрессии умножили на 3. Получим новую последовательность $(b_n)$, где каждый член $b_n$ связан с соответствующим членом $a_n$ соотношением: $b_n = 3 \cdot a_n$.

Чтобы определить, является ли последовательность $(b_n)$ арифметической прогрессией, нужно проверить, является ли разность между ее соседними членами $b_{n+1}$ и $b_n$ постоянной величиной.

Выразим $b_{n+1}$ и $b_n$ через члены исходной прогрессии: $b_{n+1} = 3 \cdot a_{n+1}$ $b_n = 3 \cdot a_n$

Теперь найдем их разность: $b_{n+1} - b_n = 3 \cdot a_{n+1} - 3 \cdot a_n$

Вынесем общий множитель 3 за скобки: $b_{n+1} - b_n = 3 \cdot (a_{n+1} - a_n)$

Так как $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$, мы знаем, что $a_{n+1} - a_n = d$. Подставим это значение в полученное выражение: $b_{n+1} - b_n = 3 \cdot d$

Поскольку $d$ — это постоянное число (разность исходной прогрессии), то и произведение $3d$ также является постоянным числом. Это означает, что разность между любыми двумя последовательными членами новой последовательности $(b_n)$ постоянна и равна $3d$.

Следовательно, полученная последовательность является арифметической прогрессией, первый член которой равен $b_1 = 3a_1$, а разность равна $d' = 3d$.

Ответ: Да, полученная последовательность будет арифметической прогрессией.