Номер 198, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

198. Является ли арифметической прогрессией последовательность $(a_n)$, заданная формулой $n$-го члена:

1) $a_n = 7 - 3n$;

2) $a_n = 2n^2 + 1$;

3) $a_n = 0,8n$;

4) $a_n = 0,64n + 23$;

5) $a_n = \frac{n-1}{n+1}$;

6) $a_n = \frac{4n-3}{5}$?

В случае утвердительного ответа укажите первый член и разность прогрессии.

Для того чтобы определить, является ли последовательность $(a_n)$ арифметической прогрессией, необходимо найти разность между последующим и предыдущим членами $d = a_{n+1} - a_n$. Если эта разность является постоянной величиной (не зависит от $n$), то последовательность является арифметической прогрессией. В случае утвердительного ответа, первый член $a_1$ находится подстановкой $n=1$ в формулу, а разность $d$ равна полученной постоянной величине.

1) $a_n = 7 - 3n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$a_{n+1} = 7 - 3(n+1) = 7 - 3n - 3 = 4 - 3n$

Найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$:

$d = (4 - 3n) - (7 - 3n) = 4 - 3n - 7 + 3n = -3$

Разность $d = -3$ является постоянной величиной, следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем первый член прогрессии, подставив $n=1$:

$a_1 = 7 - 3 \cdot 1 = 4$

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = 4$, разность $d = -3$.

2) $a_n = 2n^2 + 1$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$a_{n+1} = 2(n+1)^2 + 1 = 2(n^2 + 2n + 1) + 1 = 2n^2 + 4n + 2 + 1 = 2n^2 + 4n + 3$

Найдем разность $a_{n+1} - a_n$:

$a_{n+1} - a_n = (2n^2 + 4n + 3) - (2n^2 + 1) = 2n^2 + 4n + 3 - 2n^2 - 1 = 4n + 2$

Разность зависит от $n$, следовательно, не является постоянной. Данная последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, не является.

3) $a_n = 0,8n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$a_{n+1} = 0,8(n+1) = 0,8n + 0,8$

Найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$:

$d = (0,8n + 0,8) - 0,8n = 0,8$

Разность $d = 0,8$ является постоянной величиной, следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем первый член прогрессии, подставив $n=1$:

$a_1 = 0,8 \cdot 1 = 0,8$

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = 0,8$, разность $d = 0,8$.

4) $a_n = 0,64n + 23$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$a_{n+1} = 0,64(n+1) + 23 = 0,64n + 0,64 + 23$

Найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$:

$d = (0,64n + 0,64 + 23) - (0,64n + 23) = 0,64$

Разность $d = 0,64$ является постоянной величиной, следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем первый член прогрессии, подставив $n=1$:

$a_1 = 0,64 \cdot 1 + 23 = 23,64$

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = 23,64$, разность $d = 0,64$.

5) $a_n = \frac{n-1}{n+1}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$a_{n+1} = \frac{(n+1)-1}{(n+1)+1} = \frac{n}{n+2}$

Найдем разность $a_{n+1} - a_n$:

$a_{n+1} - a_n = \frac{n}{n+2} - \frac{n-1}{n+1} = \frac{n(n+1) - (n-1)(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{(n^2+n) - (n^2+2n-n-2)}{(n+1)(n+2)} = \frac{n^2+n-n^2-n+2}{(n+1)(n+2)} = \frac{2}{(n+1)(n+2)}$

Разность зависит от $n$, следовательно, не является постоянной. Данная последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, не является.

6) $a_n = \frac{4n-3}{5}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$a_{n+1} = \frac{4(n+1)-3}{5} = \frac{4n+4-3}{5} = \frac{4n+1}{5}$

Найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$:

$d = \frac{4n+1}{5} - \frac{4n-3}{5} = \frac{(4n+1) - (4n-3)}{5} = \frac{4n+1-4n+3}{5} = \frac{4}{5}$

Разность $d = \frac{4}{5}$ является постоянной величиной, следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем первый член прогрессии, подставив $n=1$:

$a_1 = \frac{4 \cdot 1 - 3}{5} = \frac{1}{5} = 0,2$

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = \frac{1}{5}$ (или $0,2$), разность $d = \frac{4}{5}$ (или $0,8$).