Номер 200, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

200. При каком значении $a$ значения выражений $a^2 - 4a$, $2a - 5$ и $a - 4$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Для того чтобы три выражения являлись последовательными членами арифметической прогрессии, необходимо и достаточно, чтобы средний член был равен среднему арифметическому двух других. Обозначим данные выражения как $b_1, b_2, b_3$:
$b_1 = a^2 - 4a$
$b_2 = 2a - 5$
$b_3 = a - 4$

Согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии, должно выполняться равенство $2b_2 = b_1 + b_3$. Подставим наши выражения в это равенство:
$2(2a - 5) = (a^2 - 4a) + (a - 4)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$:
$4a - 10 = a^2 - 3a - 4$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$a^2 - 3a - 4 - 4a + 10 = 0$
$a^2 - 7a + 6 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 6. Таким образом, корнями уравнения являются:
$a_1 = 1$
$a_2 = 6$

Мы получили два значения $a$, при которых данные выражения образуют арифметическую прогрессию. Теперь найдем члены этой прогрессии для каждого из найденных значений $a$.

При $a = 1$:
Найдем значения членов прогрессии, подставив $a=1$ в каждое выражение:
$b_1 = 1^2 - 4(1) = 1 - 4 = -3$
$b_2 = 2(1) - 5 = 2 - 5 = -3$
$b_3 = 1 - 4 = -3$
Получаем последовательность: -3, -3, -3. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = 0$.
Ответ: при $a = 1$ члены прогрессии: -3, -3, -3.

При $a = 6$:
Найдем значения членов прогрессии, подставив $a=6$ в каждое выражение:
$b_1 = 6^2 - 4(6) = 36 - 24 = 12$
$b_2 = 2(6) - 5 = 12 - 5 = 7$
$b_3 = 6 - 4 = 2$
Получаем последовательность: 12, 7, 2. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = -5$.
Ответ: при $a = 6$ члены прогрессии: 12, 7, 2.