Номер 197, страница 69 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

197. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

1) $a_5 + a_{13} = 38$ и $a_4 + a_8 = 29;$

2) $a_4 + a_{10} = 16$ и $a_2 \cdot a_6 = -12.$

1)

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Нам дана система из двух уравнений:

$a_5 + a_{13} = 38$

$a_4 + a_8 = 29$

Выразим каждый член прогрессии через $a_1$ и $d$:

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

$a_{13} = a_1 + (13-1)d = a_1 + 12d$

$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$

$a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$

Подставим эти выражения в исходные уравнения:

$(a_1 + 4d) + (a_1 + 12d) = 38$

$(a_1 + 3d) + (a_1 + 7d) = 29$

Упростим полученную систему:

$2a_1 + 16d = 38$

$2a_1 + 10d = 29$

Разделим обе части первого уравнения на 2:

$a_1 + 8d = 19$

Теперь у нас есть система:

$\begin{cases} a_1 + 8d = 19 \\ 2a_1 + 10d = 29 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 2:

$(2a_1 + 10d) - 2(a_1 + 8d) = 29 - 2 \cdot 19$

$2a_1 + 10d - 2a_1 - 16d = 29 - 38$

$-6d = -9$

$d = \frac{-9}{-6} = \frac{3}{2} = 1.5$

Теперь найдем $a_1$, подставив значение $d$ в уравнение $a_1 + 8d = 19$:

$a_1 + 8 \cdot 1.5 = 19$

$a_1 + 12 = 19$

$a_1 = 19 - 12 = 7$

Ответ: $a_1 = 7, d = 1.5$.

2)

Нам дана система из двух уравнений:

$a_4 + a_{10} = 16$

$a_2 \cdot a_6 = -12$

Используя формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$, выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$ и подставим в первое уравнение:

$(a_1 + 3d) + (a_1 + 9d) = 16$

$2a_1 + 12d = 16$

Разделим обе части уравнения на 2:

$a_1 + 6d = 8$

Отсюда выразим $a_1$:

$a_1 = 8 - 6d$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение $a_2 \cdot a_6 = -12$:

$(a_1 + d) \cdot (a_1 + 5d) = -12$

$((8 - 6d) + d) \cdot ((8 - 6d) + 5d) = -12$

$(8 - 5d)(8 - d) = -12$

Раскроем скобки:

$64 - 8d - 40d + 5d^2 = -12$

$5d^2 - 48d + 64 + 12 = 0$

$5d^2 - 48d + 76 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $d$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-48)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 76 = 2304 - 1520 = 784$

$\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$

Найдем два возможных значения для $d$:

$d_1 = \frac{48 + 28}{2 \cdot 5} = \frac{76}{10} = 7.6$

$d_2 = \frac{48 - 28}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$

Для каждого значения $d$ найдем соответствующее значение $a_1$ из формулы $a_1 = 8 - 6d$.

Случай 1: Если $d = 7.6$, то

$a_1 = 8 - 6 \cdot 7.6 = 8 - 45.6 = -37.6$

Случай 2: Если $d = 2$, то

$a_1 = 8 - 6 \cdot 2 = 8 - 12 = -4$

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $a_1 = -37.6, d = 7.6$ или $a_1 = -4, d = 2$.