Номер 191, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

191. Найдите формулу $n$-го члена арифметической прогрессии:

1) 1, 4, 7, 10, ... ;

2) 3, $2\frac{3}{4}$, $2\frac{1}{2}$, $2\frac{1}{4}$, ... ;

3) $5a^3$, $7a^3$, $9a^3$, $11a^3$, ... ;

4) $a-1$, $a-3$, $a-5$, $a-7$, ... .

1) Дана арифметическая прогрессия: $1, 4, 7, 10, \ldots$

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

В данном случае, первый член $a_1 = 1$.

Разность прогрессии $d$ равна разности между любым последующим и предыдущим членом:

$d = 4 - 1 = 3$.

Подставим найденные значения $a_1$ и $d$ в формулу:

$a_n = 1 + (n-1) \cdot 3$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$a_n = 1 + 3n - 3$

$a_n = 3n - 2$

Ответ: $a_n = 3n - 2$.

2) Дана арифметическая прогрессия: $3, 2\frac{3}{4}, 2\frac{1}{2}, 2\frac{1}{4}, \ldots$

Первый член прогрессии $a_1 = 3$.

Найдем разность прогрессии:

$d = a_2 - a_1 = 2\frac{3}{4} - 3 = \frac{11}{4} - \frac{12}{4} = -\frac{1}{4}$.

Подставим значения $a_1$ и $d$ в общую формулу n-го члена:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$a_n = 3 + (n-1) \cdot (-\frac{1}{4})$

Упростим выражение:

$a_n = 3 - \frac{1}{4}n + \frac{1}{4}$

$a_n = 3\frac{1}{4} - \frac{1}{4}n$

Также можно представить формулу в виде одной дроби:

$a_n = \frac{13}{4} - \frac{n}{4} = \frac{13-n}{4}$

Ответ: $a_n = \frac{13-n}{4}$.

3) Дана арифметическая прогрессия: $5a^3, 7a^3, 9a^3, 11a^3, \ldots$

Первый член прогрессии $a_1 = 5a^3$.

Найдем разность прогрессии:

$d = a_2 - a_1 = 7a^3 - 5a^3 = 2a^3$.

Подставим значения $a_1$ и $d$ в формулу n-го члена:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$a_n = 5a^3 + (n-1) \cdot 2a^3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a_n = 5a^3 + 2na^3 - 2a^3$

$a_n = 3a^3 + 2na^3$

Вынесем общий множитель $a^3$ за скобки:

$a_n = (3 + 2n)a^3$

Ответ: $a_n = (2n + 3)a^3$.

4) Дана арифметическая прогрессия: $a - 1, a - 3, a - 5, a - 7, \ldots$

Первый член прогрессии $a_1 = a - 1$.

Найдем разность прогрессии:

$d = a_2 - a_1 = (a - 3) - (a - 1) = a - 3 - a + 1 = -2$.

Подставим значения $a_1$ и $d$ в формулу n-го члена:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$a_n = (a - 1) + (n-1) \cdot (-2)$

Упростим полученное выражение:

$a_n = a - 1 - 2n + 2$

$a_n = a - 2n + 1$

Ответ: $a_n = a + 1 - 2n$.