Страница 70 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

201. При каком значении $b$ значения выражений $3b+1$, $4b-1$, $b^2+b$ и $b^2+b+1$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Для того чтобы данные выражения были последовательными членами арифметической прогрессии, разность между последующим и предыдущим членами должна быть постоянной. Обозначим эту разность как $d$.

Пусть: $a_1 = 3b + 1$ $a_2 = 4b - 1$ $a_3 = b^2 + b$ $a_4 = b^2 + b + 1$

Тогда должны выполняться следующие равенства: $d = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = a_4 - a_3$

Вычислим каждую разность:

1. $d = a_2 - a_1 = (4b - 1) - (3b + 1) = 4b - 1 - 3b - 1 = b - 2$

2. $d = a_3 - a_2 = (b^2 + b) - (4b - 1) = b^2 + b - 4b + 1 = b^2 - 3b + 1$

3. $d = a_4 - a_3 = (b^2 + b + 1) - (b^2 + b) = b^2 + b + 1 - b^2 - b = 1$

Из третьего уравнения мы видим, что разность арифметической прогрессии равна $d = 1$. Приравняем остальные выражения для разности к этому значению, чтобы найти $b$.

Из первого уравнения: $b - 2 = 1$ $b = 3$

Проверим это значение для второго уравнения: $b^2 - 3b + 1 = 1$ Подставим $b=3$: $3^2 - 3(3) + 1 = 9 - 9 + 1 = 1$ Равенство $1 = 1$ верно.

Таким образом, единственное значение $b$, при котором все три разности равны, это $b = 3$.

Теперь найдем сами члены прогрессии, подставив $b = 3$ в исходные выражения: $a_1 = 3(3) + 1 = 9 + 1 = 10$ $a_2 = 4(3) - 1 = 12 - 1 = 11$ $a_3 = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12$ $a_4 = 3^2 + 3 + 1 = 9 + 3 + 1 = 13$

Получаем последовательность 10, 11, 12, 13, которая действительно является арифметической прогрессией с разностью $d = 1$.

Ответ: при $b=3$ значения выражений образуют арифметическую прогрессию: 10, 11, 12, 13.

202. Найдите сумму восемнадцати первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 = 3,8$, а разность прогрессии $d = -1,4$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$ можно использовать формулу:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}n$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — её разность, а $n$ — количество членов.

По условию задачи нам даны:

Первый член $a_1 = 3,8$.

Разность прогрессии $d = -1,4$.

Количество членов $n = 18$.

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти сумму первых восемнадцати членов ($S_{18}$):

$S_{18} = \frac{2 \cdot 3,8 + (-1,4) \cdot (18-1)}{2} \cdot 18$

Выполним вычисления по шагам:

1. Сначала выполним действие в скобках:

$18 - 1 = 17$

2. Теперь формула выглядит так:

$S_{18} = \frac{2 \cdot 3,8 + (-1,4) \cdot 17}{2} \cdot 18$

3. Вычислим произведения в числителе:

$2 \cdot 3,8 = 7,6$

$(-1,4) \cdot 17 = -23,8$

4. Подставим полученные значения в числитель:

$S_{18} = \frac{7,6 - 23,8}{2} \cdot 18$

5. Вычислим значение числителя:

$7,6 - 23,8 = -16,2$

6. Формула принимает вид:

$S_{18} = \frac{-16,2}{2} \cdot 18$

7. Можно сократить дробь, разделив 18 на 2:

$S_{18} = -16,2 \cdot 9$

8. Вычислим итоговое значение:

$-16,2 \cdot 9 = -145,8$

Таким образом, сумма первых восемнадцати членов данной арифметической прогрессии равна -145,8.

Ответ: -145,8

203. Найдите сумму двадцати пяти первых членов арифметической прогрессии -10, -7, -4, ...

203. Задана арифметическая прогрессия: -10, -7, -4, ...

Для того чтобы найти сумму двадцати пяти первых членов этой прогрессии ($S_{25}$), нам необходимо определить её первый член ($a_1$) и разность ($d$).

Первый член прогрессии, исходя из последовательности, равен $a_1 = -10$.

Разность арифметической прогрессии ($d$) — это постоянная величина, на которую каждый следующий член отличается от предыдущего. Вычислим её:
$d = a_2 - a_1 = -7 - (-10) = -7 + 10 = 3$.

Количество членов, сумму которых необходимо найти, $n = 25$.

Формула для вычисления суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии имеет вид:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Теперь подставим известные значения ($a_1 = -10$, $d = 3$, $n = 25$) в формулу и выполним вычисления:
$S_{25} = \frac{2 \cdot (-10) + 3 \cdot (25-1)}{2} \cdot 25$
$S_{25} = \frac{-20 + 3 \cdot 24}{2} \cdot 25$
$S_{25} = \frac{-20 + 72}{2} \cdot 25$
$S_{25} = \frac{52}{2} \cdot 25$
$S_{25} = 26 \cdot 25$
$S_{25} = 650$

Ответ: 650

204. Арифметическая прогрессия $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена $a_n = -2n + 1$. Найдите сумму тридцати восьми первых членов прогрессии.

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

В данной задаче нам нужно найти сумму тридцати восьми первых членов ($S_{38}$), то есть $n = 38$. Арифметическая прогрессия задана формулой $n$-го члена $a_n = -2n + 1$.

Сначала найдем первый член прогрессии ($a_1$), подставив $n=1$ в заданную формулу: $a_1 = -2 \cdot 1 + 1 = -2 + 1 = -1$

Затем найдем тридцать восьмой член прогрессии ($a_{38}$), подставив $n=38$: $a_{38} = -2 \cdot 38 + 1 = -76 + 1 = -75$

Теперь, когда у нас есть значения первого и тридцать восьмого членов, мы можем вычислить их сумму: $S_{38} = \frac{a_1 + a_{38}}{2} \cdot 38 = \frac{-1 + (-75)}{2} \cdot 38 = \frac{-76}{2} \cdot 38$

$S_{38} = -38 \cdot 38 = -1444$

Ответ: -1444

205. Найдите сумму сорока первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

1) $a_1 = 19$, $a_{11} = -6$;

2) $a_7 = 6$, $a_{17} = 26$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — количество членов.

В данной задаче нам нужно найти $S_{40}$, то есть $n=40$. Для этого в каждом из случаев необходимо найти $a_1$ и $d$.

1) Дано: $a_1 = 19$, $a_{11} = -6$.

Первый член прогрессии $a_1$ нам уже известен. Найдем разность $d$, используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Для $n=11$ имеем:

$a_{11} = a_1 + (11-1)d$

Подставим известные значения:

$-6 = 19 + 10d$

$10d = -6 - 19$

$10d = -25$

$d = -2.5$

Теперь мы можем найти сумму первых сорока членов:

$S_{40} = \frac{2a_1 + (40-1)d}{2} \cdot 40 = (2a_1 + 39d) \cdot 20$

$S_{40} = (2 \cdot 19 + 39 \cdot (-2.5)) \cdot 20$

$S_{40} = (38 - 97.5) \cdot 20$

$S_{40} = -59.5 \cdot 20$

$S_{40} = -1190$

Ответ: -1190.

2) Дано: $a_7 = 6$, $a_{17} = 26$.

Сначала найдем разность прогрессии $d$ и первый член $a_1$. Составим систему уравнений, используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$\begin{cases} a_7 = a_1 + (7-1)d \\ a_{17} = a_1 + (17-1)d \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6 = a_1 + 6d \\ 26 = a_1 + 16d \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(a_1 + 16d) - (a_1 + 6d) = 26 - 6$

$10d = 20$

$d = 2$

Теперь подставим найденное значение $d$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:

$6 = a_1 + 6 \cdot 2$

$6 = a_1 + 12$

$a_1 = 6 - 12$

$a_1 = -6$

Теперь, зная $a_1 = -6$ и $d=2$, найдем сумму первых сорока членов:

$S_{40} = (2a_1 + 39d) \cdot 20$

$S_{40} = (2 \cdot (-6) + 39 \cdot 2) \cdot 20$

$S_{40} = (-12 + 78) \cdot 20$

$S_{40} = 66 \cdot 20$

$S_{40} = 1320$

Ответ: 1320.

206. Найдите сумму девятнадцати первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_{19} = 60$, а разность прогрессии $d = 3,5$.

Для того чтобы найти сумму первых девятнадцати членов арифметической прогрессии ($S_{19}$), воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

В нашем случае $n=19$, и нам известны значение девятнадцатого члена $a_{19} = 60$ и разность прогрессии $d = 3,5$. Для вычисления суммы нам не хватает значения первого члена прогрессии, $a_1$.

Найдем $a_1$, используя формулу $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные нам значения ($n=19$, $a_{19}=60$, $d=3,5$):
$a_{19} = a_1 + (19-1) \cdot d$
$60 = a_1 + 18 \cdot 3,5$

Сначала вычислим произведение:
$18 \cdot 3,5 = 63$

Теперь подставим результат в уравнение, чтобы найти $a_1$:
$60 = a_1 + 63$
$a_1 = 60 - 63$
$a_1 = -3$

Теперь, зная $a_1 = -3$ и $a_{19} = 60$, мы можем рассчитать сумму первых девятнадцати членов $S_{19}$:
$S_{19} = \frac{a_1 + a_{19}}{2} \cdot 19$
$S_{19} = \frac{-3 + 60}{2} \cdot 19$
$S_{19} = \frac{57}{2} \cdot 19$
$S_{19} = 28,5 \cdot 19$
$S_{19} = 541,5$

Ответ: 541,5

207. Найдите сумму восемнадцати первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_{11} - a_3 - a_8 = 27$ и $a_6 + a_{14} = 86$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Нам даны два условия:
1) $a_{11} - a_3 - a_8 = 27$
2) $a_6 + a_{14} = 86$

Сначала преобразуем первое уравнение, выразив его члены через $a_1$ и $d$:
$a_{11} = a_1 + (11-1)d = a_1 + 10d$
$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$
$a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$
Подставим эти выражения в уравнение:
$(a_1 + 10d) - (a_1 + 2d) - (a_1 + 7d) = 27$
$a_1 + 10d - a_1 - 2d - a_1 - 7d = 27$
Приведем подобные члены:
$-a_1 + d = 27$

Теперь преобразуем второе уравнение, также выразив его члены через $a_1$ и $d$:
$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$
$a_{14} = a_1 + (14-1)d = a_1 + 13d$
Подставим эти выражения в уравнение:
$(a_1 + 5d) + (a_1 + 13d) = 86$
$2a_1 + 18d = 86$
Разделим обе части уравнения на 2:
$a_1 + 9d = 43$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $d$:
$\begin{cases} -a_1 + d = 27 \\ a_1 + 9d = 43 \end{cases}$
Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $a_1$:
$(-a_1 + d) + (a_1 + 9d) = 27 + 43$
$10d = 70$
$d = 7$

Подставим найденное значение $d=7$ в первое уравнение системы, чтобы найти $a_1$:
$-a_1 + 7 = 27$
$-a_1 = 27 - 7$
$-a_1 = 20$
$a_1 = -20$

Теперь, зная первый член $a_1 = -20$ и разность $d = 7$, мы можем найти сумму первых восемнадцати членов прогрессии ($S_{18}$). Воспользуемся формулой суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.
Для $n = 18$:
$S_{18} = \frac{2 \cdot (-20) + (18-1) \cdot 7}{2} \cdot 18$
$S_{18} = (2 \cdot (-20) + 17 \cdot 7) \cdot 9$
$S_{18} = (-40 + 119) \cdot 9$
$S_{18} = 79 \cdot 9$
$S_{18} = 711$

Ответ: 711

208. При любом $n$ сумму $n$ первых членов некоторой арифметической прогрессии можно вычислить по формуле $S_n = 3n^2 + 7n$. Найдите первый член и разность этой прогрессии.

Дана формула для суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии: $S_n = 3n^2 + 7n$.

Нахождение первого члена прогрессии ($a_1$)

Первый член прогрессии $a_1$ равен сумме первого члена, то есть $S_1$. Чтобы найти $a_1$, подставим в данную формулу значение $n=1$:

$a_1 = S_1 = 3 \cdot (1)^2 + 7 \cdot 1 = 3 \cdot 1 + 7 = 3 + 7 = 10$.

Нахождение разности прогрессии ($d$)

Чтобы найти разность прогрессии $d$, нам нужно знать первые два члена: $d = a_2 - a_1$. Мы уже нашли $a_1 = 10$. Теперь найдем $a_2$.

Сумма двух первых членов $S_2$ равна $a_1 + a_2$. Вычислим $S_2$, подставив $n=2$ в формулу:

$S_2 = 3 \cdot (2)^2 + 7 \cdot 2 = 3 \cdot 4 + 14 = 12 + 14 = 26$.

Мы знаем, что $S_2 = a_1 + a_2$. Отсюда можно выразить $a_2$:

$a_2 = S_2 - a_1$.

Подставим известные значения:

$a_2 = 26 - 10 = 16$.

Теперь, зная $a_1$ и $a_2$, мы можем найти разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 16 - 10 = 6$.

Ответ: первый член $a_1 = 10$, разность $d = 6$.

209. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 7,4; 7; 6,6; ...

Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, первыми членами которой являются $7,4; 7; 6,6; \ldots$.

Первый член этой прогрессии $a_1 = 7,4$.

Для начала найдем разность арифметической прогрессии $d$. Разность — это значение, на которое каждый следующий член отличается от предыдущего.$d = a_2 - a_1 = 7 - 7,4 = -0,4$.

Чтобы найти сумму всех положительных членов, нам сначала нужно определить, сколько всего положительных членов в этой прогрессии. Для этого найдем номер $n$ последнего члена, который все еще больше нуля. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ и решим неравенство $a_n > 0$:

$7,4 + (n-1)(-0,4) > 0$
$7,4 - 0,4n + 0,4 > 0$
$7,8 - 0,4n > 0$
$7,8 > 0,4n$
$n < \frac{7,8}{0,4}$
$n < 19,5$

Поскольку номер члена $n$ должен быть натуральным числом, наибольшее значение $n$, удовлетворяющее этому условию, — это $19$. Это означает, что в прогрессии ровно $19$ положительных членов, а $20$-й член уже будет отрицательным ($a_{20} = 7,4 + (20-1)(-0,4) = 7,4 - 7,6 = -0,2$).

Теперь нам нужно найти сумму первых $19$ членов прогрессии ($S_{19}$). Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

Подставим наши значения: $a_1 = 7,4$, $d = -0,4$, $n = 19$.

$S_{19} = \frac{2 \cdot 7,4 + (-0,4)(19-1)}{2} \cdot 19$
$S_{19} = \frac{14,8 - 0,4 \cdot 18}{2} \cdot 19$
$S_{19} = \frac{14,8 - 7,2}{2} \cdot 19$
$S_{19} = \frac{7,6}{2} \cdot 19$
$S_{19} = 3,8 \cdot 19 = 72,2$

Таким образом, сумма всех положительных членов данной арифметической прогрессии равна $72,2$.

Ответ: 72,2

210. Найдите сумму всех натуральных чисел, которые кратны 7 и не больше 182.

Нам нужно найти сумму всех натуральных чисел, которые кратны 7 и не больше 182. Эти числа образуют арифметическую прогрессию.

Первый член этой прогрессии ($a_1$) — это наименьшее натуральное число, кратное 7, то есть $a_1 = 7$.

Разность прогрессии ($d$) также равна 7, поскольку мы ищем числа, кратные 7.

Последний член прогрессии ($a_n$) — это наибольшее число, кратное 7, которое не превышает 182. Чтобы его найти, разделим 182 на 7: $182 \div 7 = 26$. Поскольку деление происходит без остатка, само число 182 является последним членом нашей прогрессии: $a_n = 182$.

Теперь найдем количество членов в этой прогрессии ($n$) по формуле n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим известные значения: $182 = 7 + (n-1) \cdot 7$ $182 - 7 = (n-1) \cdot 7$ $175 = (n-1) \cdot 7$ $n-1 = \frac{175}{7}$ $n-1 = 25$ $n = 26$ Таким образом, в последовательности 26 чисел.

Для вычисления суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии воспользуемся формулой: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ Подставим наши значения: $S_{26} = \frac{7 + 182}{2} \cdot 26$ $S_{26} = \frac{189}{2} \cdot 26$ $S_{26} = 189 \cdot 13$ $S_{26} = 2457$

Ответ: 2457.

211. Найдите сумму всех натуральных чисел, которые кратны 8 и не больше 210.

Нам нужно найти сумму всех натуральных чисел, которые кратны 8 и не больше 210. Эти числа образуют арифметическую прогрессию.

1. Найдем первый член прогрессии ($a_1$). Это наименьшее натуральное число, кратное 8.

$a_1 = 8$

2. Разность прогрессии ($d$) равна 8, так как мы рассматриваем числа, идущие с шагом 8.

3. Найдем последний член прогрессии ($a_n$), который не больше 210. Для этого разделим 210 на 8, чтобы найти, сколько всего таких чисел.

$210 \div 8 = 26.25$

Так как номер члена прогрессии ($n$) должен быть натуральным числом, берем целую часть от деления, то есть $n=26$.

Теперь найдем сам последний член прогрессии $a_{26}$:

$a_n = a_{26} = 8 \times 26 = 208$

4. Теперь, зная первый член ($a_1=8$), последний член ($a_{26}=208$) и количество членов ($n=26$), мы можем найти их сумму по формуле суммы арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \times n}{2}$

Подставим наши значения в формулу:

$S_{26} = \frac{(8 + 208) \times 26}{2} = \frac{216 \times 26}{2} = 108 \times 26 = 2808$

Ответ: 2808

212. Найдите сумму всех натуральных чисел, которые меньше 191 и при делении на 5 дают в остатке 3.

В данной задаче требуется найти сумму членов арифметической прогрессии. Членами этой прогрессии являются все натуральные числа, которые меньше 191 и при делении на 5 дают в остатке 3.

Общий вид таких чисел можно записать формулой $a_k = 5k + 3$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \ge 0$).

1. Найдем первый член прогрессии ($a_1$).Это наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию. Подставим наименьшее возможное значение $k=0$:$a_1 = 5 \cdot 0 + 3 = 3$. Разность прогрессии $d=5$, так как каждое следующее число с таким же остатком от деления на 5 больше предыдущего на 5.

2. Найдем последний член прогрессии ($a_n$).Последний член должен быть меньше 191. Составим и решим неравенство:$5k + 3 < 191$$5k < 191 - 3$$5k < 188$$k < \frac{188}{5}$$k < 37.6$Так как $k$ — целое число, его наибольшее возможное значение равно 37. Найдем последний член, подставив $k=37$ в формулу:$a_n = 5 \cdot 37 + 3 = 185 + 3 = 188$.

3. Найдем количество членов прогрессии ($n$).Поскольку $k$ принимает значения от 0 до 37 включительно, общее число членов равно $n = 37 - 0 + 1 = 38$. Либо можно использовать формулу для нахождения номера члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:$188 = 3 + (n-1) \cdot 5$$185 = (n-1) \cdot 5$$n-1 = \frac{185}{5}$$n-1 = 37$$n = 38$.

4. Вычислим сумму прогрессии ($S_n$).Сумма $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$Подставим наши значения: $a_1 = 3$, $a_n = 188$, $n = 38$.$S_{38} = \frac{3 + 188}{2} \cdot 38 = \frac{191}{2} \cdot 38 = 191 \cdot 19 = 3629$.

Ответ: 3629

213. Найдите разность и шестнадцатый член арифметической прогрессии, первый член которой равен 8, а сумма двадцати двух первых членов равна 484.

По условию задачи дана арифметическая прогрессия. Обозначим ее первый член как $a_1$, разность как $d$, а сумму первых $n$ членов как $S_n$. Известно, что:
первый член $a_1 = 8$.
сумма двадцати двух первых членов $S_{22} = 484$.
Необходимо найти разность $d$ и шестнадцатый член $a_{16}$.

Разность

Для нахождения разности $d$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$ Подставим в эту формулу известные нам значения: $n=22$, $a_1=8$ и $S_{22}=484$. $484 = \frac{2 \cdot 8 + d(22-1)}{2} \cdot 22$ Упростим полученное уравнение: $484 = (16 + 21d) \cdot \frac{22}{2}$ $484 = (16 + 21d) \cdot 11$ Разделим обе части уравнения на 11: $\frac{484}{11} = 16 + 21d$ $44 = 16 + 21d$ Теперь выразим $21d$: $21d = 44 - 16$ $21d = 28$ Найдём $d$: $d = \frac{28}{21}$ Сократим дробь на 7: $d = \frac{4}{3}$
Ответ: $\frac{4}{3}$

Шестнадцатый член

Для нахождения шестнадцатого члена $a_{16}$ воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + d(n-1)$ Подставим в формулу известные значения $a_1 = 8$, $d = \frac{4}{3}$ и порядковый номер члена $n = 16$: $a_{16} = 8 + \frac{4}{3} \cdot (16-1)$ Выполним вычисления: $a_{16} = 8 + \frac{4}{3} \cdot 15$ $a_{16} = 8 + 4 \cdot \frac{15}{3}$ $a_{16} = 8 + 4 \cdot 5$ $a_{16} = 8 + 20$ $a_{16} = 28$
Ответ: 28