Номер 212, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

212. Найдите сумму всех натуральных чисел, которые меньше 191 и при делении на 5 дают в остатке 3.

В данной задаче требуется найти сумму членов арифметической прогрессии. Членами этой прогрессии являются все натуральные числа, которые меньше 191 и при делении на 5 дают в остатке 3.

Общий вид таких чисел можно записать формулой $a_k = 5k + 3$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \ge 0$).

1. Найдем первый член прогрессии ($a_1$).Это наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию. Подставим наименьшее возможное значение $k=0$:$a_1 = 5 \cdot 0 + 3 = 3$. Разность прогрессии $d=5$, так как каждое следующее число с таким же остатком от деления на 5 больше предыдущего на 5.

2. Найдем последний член прогрессии ($a_n$).Последний член должен быть меньше 191. Составим и решим неравенство:$5k + 3 < 191$$5k < 191 - 3$$5k < 188$$k < \frac{188}{5}$$k < 37.6$Так как $k$ — целое число, его наибольшее возможное значение равно 37. Найдем последний член, подставив $k=37$ в формулу:$a_n = 5 \cdot 37 + 3 = 185 + 3 = 188$.

3. Найдем количество членов прогрессии ($n$).Поскольку $k$ принимает значения от 0 до 37 включительно, общее число членов равно $n = 37 - 0 + 1 = 38$. Либо можно использовать формулу для нахождения номера члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:$188 = 3 + (n-1) \cdot 5$$185 = (n-1) \cdot 5$$n-1 = \frac{185}{5}$$n-1 = 37$$n = 38$.

4. Вычислим сумму прогрессии ($S_n$).Сумма $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$Подставим наши значения: $a_1 = 3$, $a_n = 188$, $n = 38$.$S_{38} = \frac{3 + 188}{2} \cdot 38 = \frac{191}{2} \cdot 38 = 191 \cdot 19 = 3629$.

Ответ: 3629