Номер 215, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

215. Первый член арифметической прогрессии равен 12, а разность равна -2. Сколько надо взять первых членов прогрессии, чтобы их сумма была равной -264?

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, $d$ — её разность, $n$ — количество членов, а $S_n$ — сумма первых $n$ членов.

По условию задачи нам дано:
$a_1 = 12$
$d = -2$
$S_n = -264$

Требуется найти $n$.

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии имеет вид:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим известные значения в эту формулу:
$-264 = \frac{2 \cdot 12 + (-2)(n-1)}{2} \cdot n$

Упростим выражение в числителе дроби:
$-264 = \frac{24 - 2n + 2}{2} \cdot n$
$-264 = \frac{26 - 2n}{2} \cdot n$

Разделим выражение в скобках на 2:
$-264 = (13 - n) \cdot n$

Теперь раскроем скобки и получим квадратное уравнение относительно $n$:
$-264 = 13n - n^2$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$n^2 - 13n - 264 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-264) = 169 + 1056 = 1225$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:
$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{1225}}{2 \cdot 1} = \frac{13 \pm 35}{2}$
$n_1 = \frac{13 + 35}{2} = \frac{48}{2} = 24$
$n_2 = \frac{13 - 35}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

Так как количество членов прогрессии $n$ должно быть натуральным числом, корень $n_2 = -11$ не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, нужно взять 24 первых члена прогрессии.

Ответ: 24.