Номер 217, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

217. Найдите сумму членов арифметической прогрессии ($b_n$) с девятого по двадцать третий включительно, если $b_1 = 9$ и $b_{17} = 65$.

Для решения задачи нам нужно найти сумму членов арифметической прогрессии $(b_n)$ с 9-го по 23-й включительно. Нам даны значения первого члена $b_1 = 9$ и семнадцатого члена $b_{17} = 65$.

Решение можно разбить на три шага:

1. Нахождение разности арифметической прогрессии

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 + (n-1)d$, где $d$ — разность прогрессии.

Мы можем использовать эту формулу для семнадцатого члена, чтобы найти $d$:

$b_{17} = b_1 + (17-1)d$

Подставим известные значения $b_1 = 9$ и $b_{17} = 65$ в формулу:

$65 = 9 + 16d$

Теперь решим это уравнение относительно $d$:

$16d = 65 - 9$

$16d = 56$

$d = \frac{56}{16} = \frac{7}{2} = 3.5$

Итак, разность прогрессии равна 3.5.

2. Нахождение девятого и двадцать третьего членов прогрессии

Теперь, зная $b_1$ и $d$, мы можем найти любой член прогрессии. Нам понадобятся $b_9$ и $b_{23}$, так как это первый и последний члены в искомой сумме.

Найдем $b_9$:

$b_9 = b_1 + (9-1)d = 9 + 8d = 9 + 8 \cdot 3.5 = 9 + 28 = 37$

Найдем $b_{23}$:

$b_{23} = b_1 + (23-1)d = 9 + 22d = 9 + 22 \cdot 3.5 = 9 + 77 = 86$

3. Вычисление суммы членов с девятого по двадцать третий

Нам нужно найти сумму $S = b_9 + b_{10} + \dots + b_{23}$.

Эта сумма является суммой членов арифметической прогрессии, где первый член $a_1 = b_9 = 37$, а последний член $a_n = b_{23} = 86$.

Количество членов в этой сумме равно:

$n = 23 - 9 + 1 = 15$

Воспользуемся формулой суммы $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Подставим наши значения:

$S = \frac{(b_9 + b_{23}) \cdot n}{2} = \frac{(37 + 86) \cdot 15}{2}$

$S = \frac{123 \cdot 15}{2} = \frac{1845}{2} = 922.5$

Ответ: 922.5