Номер 224, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

224. Найдите первый член геометрической прогрессии ($y_n$), знаменатель которой равен $q$, если:

1) $y_5 = \frac{3}{4}$, $q = -\frac{1}{4}$;

2) $y_3 = 4$, $y_6 = 500$.

1)

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии ($y_1$) воспользуемся формулой n-го члена: $y_n = y_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию нам даны пятый член прогрессии $y_5 = \frac{3}{4}$ и знаменатель $q = -\frac{1}{4}$.

Подставим эти значения в формулу для $n=5$:

$y_5 = y_1 \cdot q^{5-1} = y_1 \cdot q^4$

$\frac{3}{4} = y_1 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^4$

Сначала вычислим $q^4$:

$\left(-\frac{1}{4}\right)^4 = \frac{(-1)^4}{4^4} = \frac{1}{256}$

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

$\frac{3}{4} = y_1 \cdot \frac{1}{256}$

Чтобы найти $y_1$, умножим обе части уравнения на 256:

$y_1 = \frac{3}{4} \cdot 256 = 3 \cdot \frac{256}{4} = 3 \cdot 64 = 192$

Ответ: $192$.

2)

По условию даны третий и шестой члены прогрессии: $y_3 = 4$ и $y_6 = 500$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$. Воспользуемся формулой, связывающей два любых члена геометрической прогрессии: $y_m = y_k \cdot q^{m-k}$.

Подставим наши значения ($m=6, k=3$):

$y_6 = y_3 \cdot q^{6-3}$

$500 = 4 \cdot q^3$

Разделим обе части на 4, чтобы найти $q^3$:

$q^3 = \frac{500}{4} = 125$

Отсюда находим $q$, взяв кубический корень:

$q = \sqrt[3]{125} = 5$

Теперь, зная знаменатель $q$, мы можем найти первый член $y_1$, используя формулу n-го члена $y_n = y_1 \cdot q^{n-1}$. Возьмем $n=3$:

$y_3 = y_1 \cdot q^{3-1} = y_1 \cdot q^2$

Подставим известные значения $y_3 = 4$ и $q=5$:

$4 = y_1 \cdot 5^2$

$4 = y_1 \cdot 25$

Выразим $y_1$:

$y_1 = \frac{4}{25}$

Ответ: $\frac{4}{25}$.