Номер 228, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

228. Какие три числа надо вставить между числами 81 и 625, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

Пусть искомые три числа, которые нужно вставить между 81 и 625, являются членами геометрической прогрессии $b_2, b_3, b_4$. Тогда число 81 будет первым членом этой прогрессии ($b_1 = 81$), а число 625 — пятым членом ($b_5 = 625$). Всего в прогрессии 5 членов.

Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Применив эту формулу для пятого члена, получим: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$.

Теперь подставим известные значения $b_1=81$ и $b_5=625$ в формулу, чтобы найти знаменатель $q$:
$625 = 81 \cdot q^4$
$q^4 = \frac{625}{81}$

Так как $625 = 5^4$ и $81 = 3^4$, уравнение можно переписать в виде:
$q^4 = \frac{5^4}{3^4} = (\frac{5}{3})^4$

Это уравнение имеет два действительных корня, так как степень четная. Следовательно, знаменатель прогрессии может быть равен $q = \frac{5}{3}$ или $q = -\frac{5}{3}$. Рассмотрим оба возможных варианта.

Первый случай: $q = \frac{5}{3}$
В этом случае искомые числа будут:
$b_2 = b_1 \cdot q = 81 \cdot \frac{5}{3} = 27 \cdot 5 = 135$
$b_3 = b_2 \cdot q = 135 \cdot \frac{5}{3} = 45 \cdot 5 = 225$
$b_4 = b_3 \cdot q = 225 \cdot \frac{5}{3} = 75 \cdot 5 = 375$
Таким образом, первый набор чисел: 135, 225, 375.

Второй случай: $q = -\frac{5}{3}$
В этом случае искомые числа будут:
$b_2 = b_1 \cdot q = 81 \cdot (-\frac{5}{3}) = -27 \cdot 5 = -135$
$b_3 = b_2 \cdot q = (-135) \cdot (-\frac{5}{3}) = 45 \cdot 5 = 225$
$b_4 = b_3 \cdot q = 225 \cdot (-\frac{5}{3}) = -75 \cdot 5 = -375$
Таким образом, второй набор чисел: -135, 225, -375.

Следовательно, существуют два возможных набора чисел, удовлетворяющих условию задачи.
Ответ: 135, 225, 375 или -135, 225, -375.