Номер 230, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

230. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15. Если к этим числам прибавить соответственно 1, 1 и 4, то образуется геометрическая прогрессия. Найдите данные числа.

Пусть три числа, образующие арифметическую прогрессию, это $a_1$, $a_2$ и $a_3$.

Для удобства представим эти числа как $a-d$, $a$, $a+d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию, сумма этих чисел равна 15. Составим уравнение:

$(a-d) + a + (a+d) = 15$

Упростим выражение:

$3a = 15$

$a = 5$

Таким образом, средний член арифметической прогрессии равен 5. Теперь искомые числа можно записать в виде: $5-d$, 5, $5+d$.

Далее, по условию, если к этим числам прибавить соответственно 1, 1 и 4, то получится геометрическая прогрессия. Выполним это:

• Первое число: $(5-d) + 1 = 6-d$
• Второе число: $5 + 1 = 6$
• Третье число: $(5+d) + 4 = 9+d$

Полученные числа $6-d$, 6 и $9+d$ образуют геометрическую прогрессию. Основное свойство геометрической прогрессии гласит, что квадрат среднего члена равен произведению двух крайних членов. Запишем это в виде уравнения:

$6^2 = (6-d)(9+d)$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $d$:

$36 = 54 + 6d - 9d - d^2$

$36 = 54 - 3d - d^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$d^2 + 3d + 36 - 54 = 0$

$d^2 + 3d - 18 = 0$

Найдем корни этого уравнения, например, с помощью теоремы Виета. Произведение корней равно -18, а их сумма равна -3. Этим условиям удовлетворяют числа 3 и -6.

$d_1 = 3$

$d_2 = -6$

Теперь найдем исходные числа для каждого из двух возможных значений разности $d$.

1. Если $d = 3$:

Исходные числа: $5-3$, 5, $5+3$.

Получаем последовательность: 2, 5, 8.

Проверка: Сумма $2+5+8=15$. Прибавляем 1, 1, 4: получаем 3, 6, 12. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q=2$.

2. Если $d = -6$:

Исходные числа: $5-(-6)$, 5, $5+(-6)$.

Получаем последовательность: 11, 5, -1.

Проверка: Сумма $11+5+(-1)=15$. Прибавляем 1, 1, 4: получаем 12, 6, 3. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q=0.5$.

Оба набора чисел удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: 2, 5, 8 или 11, 5, -1.