Номер 229, страница 72 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

229. При каком значении $x$ значения выражений $3x - 13$, $x - 3$ и $x - 5$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Для того чтобы три числа $b_1$, $b_2$ и $b_3$ были последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$. Это характеристическое свойство геометрической прогрессии.

В нашем случае даны три выражения, которые являются последовательными членами прогрессии:

$b_1 = 3x - 13$

$b_2 = x - 3$

$b_3 = x - 5$

Подставим их в формулу характеристического свойства, чтобы найти значение $x$:

$(x - 3)^2 = (3x - 13)(x - 5)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата разности, а в правой — правило умножения многочленов.

$x^2 - 6x + 9 = 3x^2 - 15x - 13x + 65$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$x^2 - 6x + 9 = 3x^2 - 28x + 65$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$0 = (3x^2 - x^2) + (-28x + 6x) + (65 - 9)$

$0 = 2x^2 - 22x + 56$

Разделим обе части уравнения на 2 для его упрощения:

$x^2 - 11x + 28 = 0$

Решим полученное приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, то есть 11, а их произведение равно свободному члену, то есть 28.

$x_1 + x_2 = 11$

$x_1 \cdot x_2 = 28$

Подбором находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 7$.

Таким образом, существуют два значения $x$, при которых данные выражения образуют геометрическую прогрессию. Теперь найдем члены этой прогрессии для каждого из найденных значений $x$.

1. При $x = 4$:

Подставим значение $x = 4$ в исходные выражения:

$b_1 = 3(4) - 13 = 12 - 13 = -1$

$b_2 = 4 - 3 = 1$

$b_3 = 4 - 5 = -1$

Получилась последовательность: –1, 1, –1. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{-1} = -1$.

2. При $x = 7$:

Подставим значение $x = 7$ в исходные выражения:

$b_1 = 3(7) - 13 = 21 - 13 = 8$

$b_2 = 7 - 3 = 4$

$b_3 = 7 - 5 = 2$

Получилась последовательность: 8, 4, 2. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Задача имеет два решения.

Ответ: при $x=4$ члены прогрессии равны -1, 1, -1; при $x=7$ члены прогрессии равны 8, 4, 2.