Номер 219, страница 71 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

219. Решите уравнение:

1) $11 + 17 + 23 + \dots + (6n + 5) = 528$, где $n$ — натуральное число;

2) $2 + 5 + 8 + \dots + x = 126$, где $x$ — натуральное число.

1)

Левая часть уравнения представляет собой сумму членов арифметической прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = 11$.
Найдем разность прогрессии $d$:
$d = 17 - 11 = 6$.
Проверим для следующего члена: $23 - 17 = 6$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_k = a_1 + (k-1)d$.
В данном случае, если подставить $k=1$, $a_1 = 11$. Если подставить $k=2$, $a_2 = 11 + (2-1) \cdot 6 = 17$.
Последний член прогрессии равен $a_k = 6n + 5$. Найдем номер этого члена $k$.
$11 + (k-1) \cdot 6 = 6n + 5$
$11 + 6k - 6 = 6n + 5$
$6k + 5 = 6n + 5$
$6k = 6n$
$k = n$
Это означает, что в сумме ровно $n$ членов.
Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$
Подставим известные значения: $S_n = 528$, $a_1 = 11$, $a_n = 6n + 5$.
$528 = \frac{(11 + 6n + 5) \cdot n}{2}$
$528 = \frac{(16 + 6n) \cdot n}{2}$
$528 = (8 + 3n) \cdot n$
$528 = 8n + 3n^2$
Получаем квадратное уравнение:
$3n^2 + 8n - 528 = 0$
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-528) = 64 + 12 \cdot 528 = 64 + 6336 = 6400$
$\sqrt{D} = \sqrt{6400} = 80$
Найдем корни уравнения:
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 80}{2 \cdot 3} = \frac{72}{6} = 12$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 80}{2 \cdot 3} = \frac{-88}{6} = -\frac{44}{3}$
По условию задачи $n$ — натуральное число, поэтому корень $n_2 = -44/3$ не подходит.
Следовательно, $n = 12$.
Ответ: $12$

2)

Левая часть уравнения также является суммой членов арифметической прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = 2$.
Разность прогрессии $d = 5 - 2 = 3$.
Последний член прогрессии $a_n = x$.
Сумма прогрессии $S_n = 126$.
Выразим $n$-й член прогрессии $x$ через номер члена $n$:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
$x = 2 + (n-1) \cdot 3 = 2 + 3n - 3 = 3n - 1$
Теперь используем формулу суммы арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$
Подставим известные значения и выражение для $x$:
$126 = \frac{(2 + x) \cdot n}{2}$
$252 = (2 + x) \cdot n$
Подставим в это уравнение выражение $x = 3n - 1$:
$252 = (2 + (3n - 1)) \cdot n$
$252 = (3n + 1) \cdot n$
$252 = 3n^2 + n$
Получаем квадратное уравнение:
$3n^2 + n - 252 = 0$
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-252) = 1 + 12 \cdot 252 = 1 + 3024 = 3025$
$\sqrt{D} = \sqrt{3025} = 55$
Найдем корни уравнения:
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 55}{2 \cdot 3} = \frac{54}{6} = 9$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 55}{2 \cdot 3} = \frac{-56}{6} = -\frac{28}{3}$
Количество членов прогрессии $n$ должно быть натуральным числом, поэтому подходит только $n_1 = 9$.
Теперь найдем $x$, подставив значение $n$ в формулу для $x$:
$x = 3n - 1 = 3 \cdot 9 - 1 = 27 - 1 = 26$
По условию $x$ — натуральное число, $26$ является натуральным числом.
Ответ: $26$