Номер 209, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

209. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 7,4; 7; 6,6; ...

Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, первыми членами которой являются $7,4; 7; 6,6; \ldots$.

Первый член этой прогрессии $a_1 = 7,4$.

Для начала найдем разность арифметической прогрессии $d$. Разность — это значение, на которое каждый следующий член отличается от предыдущего.$d = a_2 - a_1 = 7 - 7,4 = -0,4$.

Чтобы найти сумму всех положительных членов, нам сначала нужно определить, сколько всего положительных членов в этой прогрессии. Для этого найдем номер $n$ последнего члена, который все еще больше нуля. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ и решим неравенство $a_n > 0$:

$7,4 + (n-1)(-0,4) > 0$
$7,4 - 0,4n + 0,4 > 0$
$7,8 - 0,4n > 0$
$7,8 > 0,4n$
$n < \frac{7,8}{0,4}$
$n < 19,5$

Поскольку номер члена $n$ должен быть натуральным числом, наибольшее значение $n$, удовлетворяющее этому условию, — это $19$. Это означает, что в прогрессии ровно $19$ положительных членов, а $20$-й член уже будет отрицательным ($a_{20} = 7,4 + (20-1)(-0,4) = 7,4 - 7,6 = -0,2$).

Теперь нам нужно найти сумму первых $19$ членов прогрессии ($S_{19}$). Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

Подставим наши значения: $a_1 = 7,4$, $d = -0,4$, $n = 19$.

$S_{19} = \frac{2 \cdot 7,4 + (-0,4)(19-1)}{2} \cdot 19$
$S_{19} = \frac{14,8 - 0,4 \cdot 18}{2} \cdot 19$
$S_{19} = \frac{14,8 - 7,2}{2} \cdot 19$
$S_{19} = \frac{7,6}{2} \cdot 19$
$S_{19} = 3,8 \cdot 19 = 72,2$

Таким образом, сумма всех положительных членов данной арифметической прогрессии равна $72,2$.

Ответ: 72,2